Galois-Gruppe einer Gleichung bestimmen

04.04.2011, 05:55	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Galois-Gruppe einer Gleichung bestimmen Ich habe in Bosch, "Algebra" die Aufgabe gefunden, die Galoisgruppe des Polynoms $\begin{eqnarray} X^7-8X^5-4X^4+2X^3-4X^2+2 \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ zu bestimmen. Dies gelingt mir scheinbar nicht. Überhaupt kenne ich wenig Möglichkeiten, die Galoisgruppe von Polynomen (über Q) mit "großem" (>5 oder so) Grad per Hand zu bestimmen (außer in einzelnen Spezialfällen). Was gibt es da eigentlich für Herangehensweisen? Meine Gedanken bisher: Nach Eisensteinkriterium irreduzibel. Da 7 prim ist, gibt es nach einem Satz entweder genau eine reelle Nullstelle oder alle Nullstellen sind reell, falls die Galoisgruppe auflösbar ist. Adjungiert man zu Q eine primitive 7. Einheitswurzel, so ist das Polynom über diesem Körper immernoch irredizibel oder zerfällt in Linearfaktoren. Im ersten Fall ist dann Adjunktion einer Nullstelle des Polynoms zu diesem Körper eine Radikalerweiterung, da zyklisch. Und dann?
04.04.2011, 15:53	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Galois-Gruppe einer Gleichung bestimmen Hi juffo, Du solltest zuerst mal was über die Nullstellen rausbekommen, also wie viele reelle und wie viele komplexe sie hat. Entweder per Hand über die ganzen Ableitungen oder mittels WolframAlpha Anschließend kannst Du mit dem erwähnten Satz schon rausbekommen, ob die Gruppe auflösbar ist oder nicht. Danach bleiben gar nicht mehr ganz so viele Möglichkeiten. Gruß, Reksilat.
05.04.2011, 00:42	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Plotten 'zeigt', dass es genau 5 reelle Nullstellen gibt. Damit ist die Galoisgruppe nach dem Satz also nicht auflösbar. Einschränkung der kompexen Konjugation auf den Zerfällungskörper ergibt, dass die Galoisgruppe eine Transposition enthält. Außerdem einen 7-Zykel, da 7 die Ordnung teilt. Also sollte es die ganze $\begin{eqnarray} S_7 \end{eqnarray}$ sein.
05.04.2011, 00:53	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so sehe ich das auch.
06.04.2011, 02:17	juffo-wup	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil es Spaß macht noch die gleichen Fragen zum Polynom $\begin{eqnarray} X^7+4 X^5-\frac{10}{11}X^3-4X+\frac{2}{11} \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \end{eqnarray}$ (Aufgabe auch aus Bosch): Das Polynom ist irreduzibel, weil $\begin{eqnarray} f:=11X^7+44X^5-10X^3-44X+2\in\mathbb{Z}[X] \end{eqnarray}$ irreduzibel ist nach Eisensteinkriterium. Es gibt genau 3 reelle Nullstellen(). Also ist die Galoisgruppe hier auch nicht auflösbar. (Hier hatte ich versucht die Galoisgruppe zu bestimmen, aber einen Fehler gemacht.) () : Diese Aussagen mit dem Computer ermittelt.

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