Beweis: rang(f) < n/2

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flager Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: rang(f) < n/2
Sei mit und sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K. Sei eine K-lineare Abbildung mit . Beweisen Sie, dass .

Hinweis:
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Ideen?
 
 
flager Auf diesen Beitrag antworten »

ehrlich gesagt gar keine.

aber, das f o f =0 sieht irgendwie verdächtig aus, weiß aber auch nicht, was das in der praxis genau bedeutet... unglücklich
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege dir mal, in welchem Verhältnis und stehen, wenn gilt. Zusammen mit



folgt dann die Aussage.
flager Auf diesen Beitrag antworten »

da so ziemlich liegt mein problem, ich weiss nicht was das f o f =0 heißt.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »



Sollte man eigentlich wissen.
flager Auf diesen Beitrag antworten »

ja das ist mir auch klar, aber was das genau heißt, nicht.

also ist das ne abbildung, die alles auf 0 abbildet oder wie kriegt man das sonst hin...
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
also ist das ne abbildung, die alles auf 0 abbildet oder wie kriegt man das sonst hin...


Ganz genau, wenn man f zweimal anwendet kommt die Nullabbildung heraus. Und jetzt ,wie gehabt, was heißt das für das Verhältnis von dem Kern von f und dem Bild von f ?
flager Auf diesen Beitrag antworten »

dass die gleich groß sind ?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, nicht ganz. Überlege dir mal folgendes.

Es ist , was gilt dann für

wenn ?
flager Auf diesen Beitrag antworten »

dass f(z)=0, weil wir dann ja wieder die abbildung zweimal ausgeführt haben, oder ?

aber wie bringe ich dann jez den kern damit ins spiel?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dass f(z)=0, weil wir dann ja wieder die abbildung zweimal ausgeführt haben, oder ?


Ganz genau. Wenn f(z) = 0 ist, zu welcher Menge gehört z dann noch ausser zum Bild?
flager Auf diesen Beitrag antworten »

zum kern, also kann das bild maximal so viel elemente haben, wie der kern, da evtl. noch elemente bei dem ersten mal ausführen auf null abgebildet werden können ?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Welche mengentheoretische Beziehung besteht also zwischen dem Kern von f und dem Bild von f?
flager Auf diesen Beitrag antworten »

?
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist auch richtig. Ich meinte



In welchem Verhältnis stehen Dim(Bild(f)) und Dim(Ker(f)) wenn das Bild eine Teilmenge des Kerns ist?
flager Auf diesen Beitrag antworten »

Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. So und jetzt wissen wir das



ist. Mit also



Jetzt noch die Bedingung nutzen, und Du hast es.
flager Auf diesen Beitrag antworten »

der kern ist doch die menge der elemente, dir auf null abgebildet werden, oder ?
weil dann müsste doch der kern eine teilmenge von bild sein, weil im bild liegen ja alle elemente, die erfasst werden, auch 0, und im kern sind doch nur die, die auf null abgebildet werden.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst besser unterscheiden. Es sei



eine Abbildung, dann ist der Kern eine Teilmenge von V und das Bild eine Teilmenge von W. Hier macht es keinen Sinn den Kern als Teilmenge des Bildes zu betrachten. Im Falle



aber schon. Man kann aber ohne Weiteres Abbildungen angeben, bei denen es Elemente im Kern gibt, die nicht im Bild liegen. Betrachte etwa ;

mit



Dann sind die Elemente des Kerns die Vektoren (0,a) für , aber kein Element des Kerns, mit der Ausnahme des Nullvektors, liegt im Bild.
flager Auf diesen Beitrag antworten »

AH, ok alles klar, vielen dank für deine hilfe, hat mir echt geholfen!
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