Bestimme alle reellen Zahlen X einer Ungleichung

04.04.2011, 21:08

epidrom

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Bestimme alle reellen Zahlen X einer Ungleichung

Gegeben ist folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 3-\frac{1}{x+1} < 5-\frac{2}{x+1} \end{eqnarray*}$

Nun soll man alle reellen Zahlen x bestimmen welche Lösung der oben genannten Ungleichung sind.

Zuerst hatte ich versucht dabei so umzustellen, dass ich auf die p,q-Formel komme.
Das verlief jedoch völlig im Sand.

Also habe ich einfach nach x aufgelöst und bekam folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} 3-\frac{1}{x+1} < 5-\frac{2}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3<5-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2<\frac{3}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{2}{3}<x+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>-\frac{5}{3} \end{eqnarray*}$

Oder muss ich doch einmal den Fall I für x = pos und Fall II x= neg verwenden?

mfg
Der Mathelegastheniker

04.04.2011, 21:17

Equester

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Ja, eine Fallunterscheidung ist notwendig.
Die mach mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

Allerdings ists da egal ob x positiv oder negativ ist.
Der Ausdruck im Nenner ist relevant.
Wenn du mit dem multiplizierst, muss das Voreichen beachtet werden Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.04.2011, 21:20

Helferlein

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Prinzipiell richtig, aber Dir ist bei der vorletzten Umformung ( $\begin{eqnarray*} -2<\frac{3}{x+1} \Rightarrow ... \end{eqnarray*}$ ) ein Fehler unterlaufen.

04.04.2011, 21:23

Equester

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Das ist nur (teilweise) richtig für x+1>0.

04.04.2011, 21:26

Helferlein

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@Equester:
Schau Dir doch mal die verwendeten Umformungen an. Das sind bis zu der von mir genannten Stelle nur Additionen. Eine Fallunterscheidung ist daher völlig unnötig. (Wie gesagt: Bis zu der Stelle, danach sieht es anders aus)

04.04.2011, 21:30

Equester

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@Helferlein:
Ahh danke, hatte einen Schritt anders (falsch) gesehen.

Dann passts Freude

Freude

Machst du weiter? Fallunterscheidung kommt ohnehin noch und eine Hilfestellung
ist dann sicher noch nötig Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wink

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04.04.2011, 21:32

Helferlein

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Wenn es für Dich ok ist, mach ich weiter (sofern noch Fragen kommen)

04.04.2011, 21:36

epidrom

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Jop ich mach weiter gebt mir einen Moment smile

smile

Aber danke für die breite Resonanz von euch!!

mfg

04.04.2011, 21:46

HAL 9000

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Zitat:

Original von epidrom
$\begin{eqnarray*} 3<5-\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2<\frac{3}{x+1} \end{eqnarray*}$

Anzumerken ist, dass $\begin{eqnarray*} -\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x+1} = -\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{3}{x+1} \end{eqnarray*}$ ist - jaja, die bösen Vorzeichen. Ups

Ups

04.04.2011, 21:48

epidrom

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Ok, also dann mache ich einfach an der Stelle weiter an der mit der Fehler passiert ist:

$\begin{eqnarray*} -2<\frac{3}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2(x+1)>3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+1>5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$

Stimmt das erstmal soweit ?

Wenn ja muss ich jetzt das Gleiche nochmal für -x machen ?

04.04.2011, 21:49

Helferlein

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@HAL
Stimmt, hatte ich übersehen. Equester aber anscheinend auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

@Epidrom
Jetzt bist Du genau in die Falle getappt, die wir beide erwähnt haben.
Eine Fallunterscheidung ist notwendig.
Einfaches Beispiel: Aus 1<1/x folgt nicht zwingend x<1, denn 1<1/(-1) ist sicher falsch.

04.04.2011, 21:51

Equester

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Zitat:

Original von Helferlein
Stimmt, hatte ich übersehen. Equester aber anscheinend auch Augenzwinkern

Augenzwinkern

Drücks mir rein unglücklich

unglücklich

Big Laugh

Ich hatte nur nach der Rechenart geschaut (Punkt- oder Strichrechnung) und
dann mit dem Gedanken an Abgabe an nichts mehr gedacht. *Rechtfertige Augenzwinkern

Augenzwinkern

*

Bin damit dann raus Wink

Wink

04.04.2011, 21:53

epidrom

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Oh stimmt! Argh:

Ok kurz nochmal:

$\begin{eqnarray*} -2<\frac{3}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2(x+1)>1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>2 \end{eqnarray*}$

Das wäre das korriegierte Ergebnis

Hatte eure Antworte nicht gesehn deswegen dieser quasi-Doppelpost :/

04.04.2011, 21:54

Helferlein

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@Epidrom
Und wo ist da die Fallunterscheidung?

04.04.2011, 22:00

epidrom

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Ok ich glaube:

$\begin{eqnarray*} x+1>5 \end{eqnarray*}$

Wenn ich das jetzt nehme und einmal für x=+x einsetze und x=-x
komme ich auf:

Fall I:

$\begin{eqnarray*} x+1>5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>4 \end{eqnarray*}$

Fall II:

$\begin{eqnarray*} -x+1>5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x<4 \end{eqnarray*}$

Also ich gehe natürlich davon aus, dass es bis $\begin{eqnarray*} -2\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$ noch richtig war.
Muss ich nun vorher die Fallunterscheidung machen oder bin ich gerade total auf dem Holzweg ?

04.04.2011, 22:03

Helferlein

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Wie HAL oben ja schon richtiggestellt hat muss es $\begin{eqnarray*} -2<-\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$ heissen. Bis zu diesem Punkt ist keine Fallunterscheidung notwendig.
Danach schon !

Überleg Dir, bei welchen Rechnungen sich das Relationszeichen (also < bzw. >) umdreht. Dies führt auf zwei verschiedene Fälle, die es zu Unterscheiden gilt.

04.04.2011, 22:05

epidrom

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Moment tut mir wahnsinnig leid!! Ich habe einen FEhler gmeach bezüglich der Gelichung, habe $\begin{eqnarray*} 3\frac{3}{x+1} \end{eqnarray*}$ verwerndet anstatt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

Es müsste natürlich Fall I:

x>2

Fall II:

x>-2

Ok moment, damit ist diesr Post auch hinfällig!

Sry. zu spät korrigiert heute ist nicht mein Tag -.-

04.04.2011, 22:30

epidrom

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Kann es also sein dass ich das jetzt auch so schrieben kann:

$\begin{eqnarray*} -2<-\frac{1}{|x| +1} \end{eqnarray*}$ ?

Dann würde das bei mir so verlaufen:

$\begin{eqnarray*} Fall I: x>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2<-\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x-2<-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x<1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

---> $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}<x<+\infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Fall II: x<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2<-\frac{1}{-x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>-\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

---> $\begin{eqnarray*} -\frac{3}{2}<x<+\infty \end{eqnarray*}$

04.04.2011, 22:48

Helferlein

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Deine Umschreibung macht die Unleichung nicht einfacher, sondern schwerer.

Hast Du Dir die Frage mit dem Undrehen des Zeichens gestellt?
Wenn ja, dann denk mal drüber nach, wo Du eine Rechnung vorgenommen hast, die das Relationszeichen umdreht.

Wenn nein: Schau Dir mal die sicherlich korrekte Gleichung 1/3<1/2 an und überleg Dir, wie diese Ungleichung aussieht, wenn man die beiden Brüche auf die andere Seite bringt.

05.04.2011, 21:02

epidrom

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Ok, ich habe mir jetzt mal dein Beispiel genommen und es ausprobiert:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Einmal $\begin{eqnarray*} |-\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

dann bekommen wir $\begin{eqnarray*} 0<\frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

Und einmal $\begin{eqnarray*} |-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

dann haben wir $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{6}<0 \end{eqnarray*}$

Somit hätte sich das Größer-Kleiner-Zeichen zwar nicht gedreht aber ich habe die Lösung jeweils einmal auf die rechte und einmal auf die Linke Seite gebracht.

Ich glaube jetzt habe ich auch verstanden. Ich versuche es mal mit meiner Gleichung und dem selben Prinzip:

Einmal Größer-Kleiner-Zeichen nach links zeigen lassen:

$\begin{eqnarray*} -2<-\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2(x+1)>-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+1>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Und einmal Größer-Kleiner Zeichen nach rechts zeigen lassen:

$\begin{eqnarray*} -2<-\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2(x+1)>-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -(x+1)<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x-1<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1<x \end{eqnarray*}$

05.04.2011, 21:33

Helferlein

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Was ich eigentlich meinte ist folgendes:
$\begin{eqnarray*} \frac 12>\frac 13 \Leftrightarrow \frac 12-\frac 13>0 \Leftrightarrow -\frac 12 < -\frac 13 \end{eqnarray*}$

Man könnte von der ersten Ungleichung durch geeignete Multiplikation auch direkt auf die dritte kommen. Ist Dir klar wie?

06.04.2011, 14:52

epidrom

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Ja durch $\begin{eqnarray*} \cdot(-1) \end{eqnarray*}$ oder ?

Das heißt ich könnte bei meiner Gleichung gleiches ausprobieren ?

$\begin{eqnarray*} -2<-\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$ (dann $\begin{eqnarray*} \cdot(-1)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2<\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

Stimmt das erstmal soweit ?

06.04.2011, 15:42

Equester

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Ich springe mal kurz fürs Helferlein ein Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nein. Gegenbeispiel:

-2<-1

Klar oder? Jetzt multipliziere ich mit -1.
So wie du es gemacht hast.

2<1
Falsche Aussage!

Immer Vorzeichen umdrehen, wenn du mit einer negativen Zahl
multiplizierst (oder dividierst)!

06.04.2011, 16:05

epidrom

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ups: Ja habs schon verstanden gehabt nur mies vertippt.
In der zweten Reihe ist natürlich 2 größer als irgendwas 1/x+1.

$\begin{eqnarray*} -2<-\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2>\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

Also jeweils einmal die obere und einmal die untere gleichung nach x auflösen ?

06.04.2011, 16:06

Equester

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Ja, dann stimmts ja Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.04.2011, 16:33

epidrom

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Ja aber kommt dann nicht bei der Bestimmung aller reellen Zahlen das raus? :

$\begin{eqnarray*} FallI: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2<-\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\frac{3}{2}\leq x\leq +\infty \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} FallII: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2>\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow -\frac{1}{2}\leq x\leq +\infty \end{eqnarray*}$

Oder ist der obige post schon die Lösung ?

mfg

06.04.2011, 17:44

Helferlein

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Ich denke es wird das beste sein, ich rechne Dir ein ähnliches Beispiel vor, denn deine beiden Fälle sind eigentlich nur einer.

Nehmen wir mal an, die Aufgabe sei
$\begin{eqnarray*} -1<\frac 2{x-1} \end{eqnarray*}$

Dann schaue wir uns zunächst den Nenner an:

Fall I: x-1>0
Wir dürfen multiplizieren, ohne dass sich das Relationszeichen verändert.
$\begin{eqnarray*} -1<\frac 2{x-1} \Leftrightarrow -(x-1)<2 \Leftrightarrow -x+1<2 \Leftrightarrow x>1-2=-1 \end{eqnarray*}$
Insgesamt haben wir also x>-1 und x>1 also x>1 als Lösungsbereich

Fall II: x-1<0
Beim Multiplizieren mit (x-1) dreht sich das Relationszeichen um.
$\begin{eqnarray*} -1<\frac 2{x-1} \Leftrightarrow -(x-1)>2 \Leftrightarrow -x+1>2 \Leftrightarrow x<1-2=-1 \end{eqnarray*}$
Insgesamt haben wir also x<-1 und x<1 also x<-1 als Lösungsbereich

Nehmen wir beide Fälle zusammen, so erhalten wir den Lösungsbereich $\begin{eqnarray*} \mathbb R / \left[-1;1\right] \end{eqnarray*}$

06.04.2011, 19:02

epidrom

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Dann glaube ich dass mir es am Verständnis mangelt.

Warum hast du zwei mal die gleiche Rechnung vorgenommen? Mit Ausnahme, dass du bei der Zweiten das Zeichen gedreht hast aber bei der Ersten nicht obwohl das die gleiche Rechenoperation war.

Wenn ich aber meine Rechnung nach deinem Vorbild durchführe komme ich tatsächlich in beiden Fällen auf $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Einmal für x+1>0: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}<x \end{eqnarray*}$

Und Fall II für x+1<0: $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2}>x \end{eqnarray*}$

06.04.2011, 19:54

epidrom

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Achso und der Lösungsbereich wäre bei mir dann: $\begin{eqnarray*} \mathbb R /[-1,-\frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$

06.04.2011, 21:07

Helferlein

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Ja, die Lösung stimmt jetzt.

Was die Rechnung von mir angeht: Wir haben tatsächlich zweimal die gleiche Rechnung. Allerdings ändert sich das Relationszeichen dazwischen je nachdem, ob wir mit einer positiven Zahl (x+1>0) oder einer negativen Zahl(x+1<0) multiplizieren. Daher müssen wir beide Fälle separat betrachten.

06.04.2011, 21:11

epidrom

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Ok, danke dir vielmals. Habs verstanden eben noch mal ne testaufgabe gerechnet. Also zumindest dieser Aufgabentyp läuft , dank euch smile

smile

Hätte ich matheboard doch bloß damals schon in der Schule entdeckt :/

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