Äquivalenzklassen Verständnisfrage

04.04.2011, 22:45

Ravenlord

Äquivalenzklassen Verständnisfrage

Hi,

bin grad die LinAlg Aufgaben noch mal durchgegangen und auf folgende Aufgabe gestoßen:

Zitat:

Es sei $\begin{eqnarray*} V =\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z} \setminus 0) \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} a = (a_1 , a_2) \in V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = (b_1 , b_2) \in V \end{eqnarray*}$ schreiben wir:

a ~ b :<=> $\begin{eqnarray*} a_1 b_2 = a_2 b_1 \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie, dass durch "~" eine Äquivalenzrelation auf der Menge V erklärt wird.
Auf der Menge der Äquivalenzklassen K = {[a] | $\begin{eqnarray*} a \in V \end{eqnarray*}$ } werden nun die folgenden Verknüpfungen definiert:

$\begin{eqnarray*} +: K \times K, & ([q],[r]) \longmapsto [q]+[r] = [(q_1 r_2 + r_1 q_2 , q_2 r_2)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cdot : K \times K, & ([q],[r]) \longmapsto [q]\cdot[r] = [(q_1 r_1, q_2 r_2)] \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass mit diesen das Tripel $\begin{eqnarray*} (K, +, \cdot) \end{eqnarray*}$ zu einem Körper wird. Um welchen Körper handelt es sich?

Die Aufgabe an sich bereitet mir keine Probleme, ich konnte zeigen, dass "~" eine Äquivalenzrelation auf V erklärt, dass das Tripel es zu einem Körper wird und ich weiß auch, dass es sich bei diesem Körper um die rationalen Zahlen handelt.

Nun meine Frage: mein Korrektor hat mir daneben geschrieben, dass noch die Wohldefininiertheit von + und * zu zeigen ist. Wieso ist das noch zu zeigen und wie mache ich es?

Danke im Voraus!

04.04.2011, 22:51

tigerbine

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RE: Äquivalenzklassen Verständnisfrage
Hallo,

zum warum kann ich dir vielleicht schnell was sagen. Du musst zeigen, dass das Rechnen nur mit den Repräsentanten "wohldefiniert" ist. Du nimmst ja nur bestimmte Elemente aus K, das muss ja nicht gut gehen.

Wohldefiniert bedeutet dann, die Definition ist unabhängig davon, welchen Repräsentanten du wählst.
http://de.wikipedia.org/wiki/Wohldefinie...h.C3.A4ngigkeit

So long. Wink

05.04.2011, 11:37

Ravenlord

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Danke, jetzt hab ich das "Warum" schon mal verstanden. Freude

Müsste jetzt nur noch wissen, wie man das prüft. Bräuchte nur einen Ansatz, den Rest kann ich dann selbst machen.

05.04.2011, 14:04

tigerbine

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Ich möchte da nun nichts falsches sagen. Mir begegnet es in der Algebra gerade immer als "Umekhrung der Injektivität". Schau mal hier in die Lösung, vielleicht bringt dich das weiter. Wink

05.04.2011, 17:16

pseudo-nym

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Vielleicht hilft dir folgende Überlegung weiter:

Die Addition ist wohldefiniert und du addierst zwei $\begin{eqnarray*} a, b \in V \end{eqnarray*}$ .

Nun nimmst du statt $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ zwei andere Elemente $\begin{eqnarray*} a', b' \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \sim a' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \sim b' \end{eqnarray*}$ . Wie sollten dann $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a' + b' \end{eqnarray*}$ zusammenhängen?

05.04.2011, 18:04

Ravenlord

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Danke.

Für a+b und a'+b' muss gelten:

a+b ~ a'+b'

Das selbe mit der Multiplikation. Wenn es stimmt, dann konnte ich beides zeigen. Danke noch mal! Habs verstanden. =)

05.04.2011, 19:24

pseudo-nym

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Richtig.

Jetzt kannst du tatsächlich ganze Äquivalenzklassen addieren, indem du ein beliebiges Repräsentantenpaar addierst und die Äquivalenzklasse des Ergebnisses nimmst, denn wenn du ein anderes Paar hernehmen würdest, würde auch nichts anderes herauskommen.

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