Total geordnete Mengen |
| 05.04.2011, 09:15 | Fletcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Total geordnete Mengen als einfachste total geordnete Mengen kennen wir die reellen Zahlen. Allerdings frage ich mich, ob es auch kompliziertere total geordnete Mengen gibt und wo man dazu Beispiele findet? Hat da jemand einen Tip für mich? Zudem interessiert mich der Zusammenhang zur Konvexität. Wenn ich in den reellen Zahlen zwei Zahlen x und y hernehme, dann weiß ich, dass das ganze Verbindungsstück zwischen diesen beiden Zahlen liegt, es gilt also für und . Aber wie sieht dies für kompliziertere Mengen aus? Vielen DAnk |
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| 05.04.2011, 10:23 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich halte die natürlichen Zahlen für einfacher als die reellen Zahlen, und über den natürlichen Zahlen kann ich mit Hilfe der Relation "" ebenso eine totale Ordnung definieren. Daher wäre ich vorsichtig mit der Behauptung, die reellen Zahlen wären die einfachste total ordenbare Menge. Eine noch einfachere Menge ist die Menge der Kaffeetassen in meinem Geschirrschrank. Auch dafür kann ich eine totale Ordnung definieren. Und natürlich gibt es auch kompliziertere Mengen als die reellen Zahlen. Spontan fallen mir da die surrealen Zahlen ein (siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Surreale_Zahl). Surreale Zahlen sind ganz sicher total ordenbar. Vielleicht zählen auch die Ordinalzahlen zu den total ordenbaren Mengen, das weiß ich jetzt leider nicht, kann man aber vermutlich irgendwo nachlesen. Wenn nicht, kann man sicher viel Zeit damit verbringen, das rauszufinden. Sowohl bei den Kaffeetassen, als auch bei den natürlichen Zahlen als auch bei den surrealen Zahlen gilt, dass zwei beliebige Elemente aufgrund der totalen Ordnung ein Intervall definieren, dass ein "innen" und ein "außen" kennt. Die beiden gewählten Elemente sind die Ränder dieses Intervalls. Man kann sich aussuchen, ob die Rand-Elemente zum Inneraum oder zum Außenraum des Intervalls gehören. Das Interall heißt dann geschlossen oder offen. Alle Elemente im Inneren des Intervalls bilden eine wohlgeordnete Kette, die vom kleineren Randelement zum größeren reicht. Diese Kette enthält alle Elemente aus dem inneren des Intervalls, aber keines von außen. Reicht dir das mal als Antwort? |
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| 05.04.2011, 12:01 | Fletcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, die Antwort war sehr ausführlich und verständlich. Mir ging es nur darum dass man bei den reellen oder natürlichen Zahlen sofort eine Vorstellung hat. Jeder kennt diese Ordnungsrelation. Wie ist es aber z.b. im ? Welche Ordnungsrelation gibt es da? Oder wie sieht es in Funktionenräumen aus? Kann man diese auch total anordnen? Viele Grüße Fletcher |
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| 05.04.2011, 12:53 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man den betrachtet, dann ist es schon etwas schwieriger eine Ordnung zu "konstruieren", aber nicht unmöglich. Das führt uns allerdings in den Bereich Topologie, Verbände und Ideale bzw. Filter. Das ganze geschieht so: Man nimmt die regulär offenen Teilmengen des R^n und bildet entsrechende Verknüpfungen, so erhält man einen distributiven, komplementären Verband. Die Ideale dieses Verbandes lassen sich bezüglich anordnen. |
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| 05.04.2011, 14:04 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hm, ich würde sagen, ich ordne mal nach der ersten Koordinate... Sollte das bei zwei speziellen n-Tupeln noch nicht ausreichen, weil die ersten Koordinaten eben gleich ist, dann ziehe ich auch die zweiten Koordinaten heran... Sind auch diese gleich, dann schaue ich mir auch die jeweils dritten Koordianten an usw. Ist das nicht die natürlichste Ordnungsrelation der Welt? Findet man in jedem Telefonbuch... 
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| 05.04.2011, 14:07 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Deswegen nennt man die ja auch lexikographische Ordnung. 
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| 05.04.2011, 14:13 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ich weiß, wollte aber niemanden mit fachspezifischen Begriffen verschrecken...
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| 05.04.2011, 14:50 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich kann mir vorstellen, dass man zu jeder Menge eine Relation finden kann, die eine totale Ordnung darstellt. Bei endlichen Mengen liegt es auf der Hand, dass das immer möglich ist. Auch bei abzählbaren unendlichen Mengen geht das ganz sicher, aber ich würde keine großen Summen darauf verwetten, dass man zu jeder Menge, insbesondere zu überabzählbar großen, immer unter Garantie eine solche Relation finden kann. |
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| 05.04.2011, 14:52 | jester. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man an das Auswahlaxiom glaubt, kann man zu jeder Menge sogar eine Wohlordnung (die insbesondere eine Totalordnung ist) finden. Alternativ kann man natürlich auch direkt an den Wohlordnungssatz oder an das Lemma von Zorn glauben.
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| 05.04.2011, 15:08 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohje. Glauben ist nicht so mein Ding. Ich glaube ja nicht mal an das Parallelenaxiom. Ich mehr so der Wissen-Typ. Und jetzt weiß ich wieder etwas mehr. Ich weiß jetz nämlich, dass der Wohlordnungssatz äquivalent zum Auswahlaxiom ist. Das wusste ich heute morgen nämlich noch nicht. |
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| 07.04.2011, 08:55 | Fletcher | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Infos. Die lexikographische Ordnung gefällt mir gut. Kann ich bei der Formulierung eines Satz auch schreiben, dass es sich um einen total geordneten reellen Vektorraum handelt oder ist das zu allgemein? Vielleicht sollte ich auch von einem reellen Vektorraum X reden und einer Teilmenge S von X die total geordnet ist? |
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| 08.04.2011, 09:50 | Hubert1965 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Menge an sich (und ein Raum ist auch nur eine Menge) kann für sich allein weder geordnet noch ungeordnet sein. Das ist ganz gleich, wie wenn du behaupten würdest, die Menge der rationalen Zahlen wäre kommutativ. Erst wenn du über der Menge eine Relation definierst, kannst du entscheiden, ob diese Relation auf dieser Menge einer Ordnung entspricht oder nicht. Im anderen Fall musst du den rationalen Zahlen erst eine Verknüpfungsvorschrift hinzufügen, um entscheiden zu können, ob diese Verknüpfung, angewandt auf diese Menge, kommutativ ist. Addition und Multiplikation sind innerhalb der rationalen Zahlen kommutativ. Subtraktion und Division sind es nicht. Das liegt aber nicht an der Verknüpfung allein, denn z.B. die Multiplikation, angewand auf eine andere Menge, nämlich beispielsweise auf die Menge der quadratischen Matritzen der Größe 3x3 ist NICHT kommutativ. Ebensowenig kann man einer bestimmten Relation die Schuld dafür geben, dass sie auf einer bestimmten Menge eine totale Ordnung bewirkt. Wenn ich ein Schema (also eine Relation) finde, mit dem ich die Schüler einer bestimmten Schulklasse in eine totale Ordnung bringen kann, heißt das nicht automatisch, dass ich mit dem selben Schema die Milchpackungen im Regal eines Supermarktes total ordnen kann. Es ist also immer die Kombination aus Menge und Relation bzw. Verknüpfung ausschlaggebend. |
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