Flagge eines Vektorraumes

04.12.2006, 16:18

SilverBullet

Flagge eines Vektorraumes

Tach zusammen hab hier noch ne nette Aufgabe bei der ich ein wenig Hilfe brauche.

Aufgabe :

Einge Flagge in einem Vektorraum V ist eine Menge F von Unterräumen von V mit der Eigenschaft, dass für verschiedene U, U´ aus F gilt, dass entweder U c U´ oder U´ c U gilt. Eine Flagge heißt maximal, wenn man zu F keine weiteren Unterräume hinzufügen kann, ohne die Flaggeneigenschaft zu verlieren.

(a) Zeigen sie : Jeder Vektorraum besitzt eine maximale Flagge.

(b) Eine Basis B von V heißt "an eine Flagge angepasst", falls für jedes U aus F eine Teilmenge von B eine Basis U ist. Zeigen sie, dass jede Flagge eine angepasste Basis besitzt.

So fangen wir mal mit der (a) an.
Also es wird gesagt dass jeder Vektorraum eine maximale Flagge besitzt.
Wenn ich die Definition der Flagge richtig verstehe, dann bedeutet das doch, dass die maximale Flagge eines Vektorraumes der Unterraum ist welcher alle anderen Unterräume enthält und dies müsste dann der Vektorraum selber sein.

Ich hoffe ich liege mit meinem Ansatz richtig ?
Wie kann ich das mathematisch als Beweis formulieren ?

mfg
Silver

04.12.2006, 16:38

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Flagge ist kein Unterraum! Eine Flagge ist eine Menge von Unterräumen und damit nicht einmal eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ !

Gruß MSS

04.12.2006, 16:38

Shurakai

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz.

Die Definition sagt dir, dass eine maximale Flagge eine MENGE (!) von Unterräumen ist. Eine maximale Flagge ist nach Def. eine Menge, die so beschaffen ist, dass egal was du dazu tust, wird die Flaggeneigenschaft (nämlcih das was du sagtest: U c U´ oder U´ c U ) verletzt und damit wäre es keine Flagge mehr. Das kannst du zeigen, in dem du erst mit 0 Dimensionen anfängst, d.h.:

$\begin{eqnarray*} U_0 := \{0\} \end{eqnarray*}$

und dich dann bis n Dimensionen hocharbeitest - die n-te Dimension hätte dann der Vektorraum V. Du musst also im Grunde genommen nur sukzessive Dimensionen hinzufügen.

EDIT: Backslashes in Latex hinzugefügt, damit man die Klammern sieht Augenzwinkern

04.12.2006, 16:39

therisen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe den Begriff auch eben zum ersten Mal gehört und kurzes Googlen hat mir folgende Definition des Begriffes Flagge gebracht: Eine Flagge in einem Vektorraum $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ist eine endliche Folge von Unterräumen $\begin{eqnarray*} U_0, U_1, \ldots, U_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U_{i-1} \subset U_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\leq i \leq n \end{eqnarray*}$ . Ich glaube, das ist auch das, was der Aufgabensteller hier beabsichtigt.

Für unendlichdimensionale Vektorräume ist a) natürlich falsch. Ich glaube außerdem, dass dein Ansatz für a) falsch ist. $\begin{eqnarray*} F=\{V\} \end{eqnarray*}$ hat doch gerade mal die Länge 1, aber man kann sofort eine Flagge der Länge 2 finden: $\begin{eqnarray*} F=\{\{0\}, V\} \end{eqnarray*}$

Gruß, therisen

04.12.2006, 16:53

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist a) nicht sogar für jeden Vektorraum mit einer Dimension größer $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ falsch? Nehmen wir z.B. den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Dort haben wir folgende Unterräume:

$\begin{eqnarray*} U_1=\{(0,0)\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_2=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_3=\{(0,y)\in\mathbb R^2\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U_a=\{(x,ax)\in\mathbb R^2\ |\ a\in\mathbb R\} \end{eqnarray*}$ .

Welche Flagge soll denn da maximal sein? Unter einer maximalen Flagge verstehe ich eine, die alle anderen Flaggen enthält.
edit: Hab die Definition ganz oben von "maximaler Flagge" ganz übersehen, sorry.

Gruß MSS

04.12.2006, 17:08

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm stimmt da habe ich nicht beachtet das die Flagge eine Menge von Unterräumen ist.

Somit müsste ich doch irgendwie zeigen, dass eine Flagge maximal ist, wenn
$\begin{eqnarray*} U_n = V \end{eqnarray*}$ ist und für und für Un gilt :

$\begin{eqnarray*} U_0 \subset U_1 \subset U_3 \subset......\subset U_n \end{eqnarray*}$

verwirrt

@MSS :

Zitat:

Welche Flagge soll denn da maximal sein? Unter einer maximalen Flagge verstehe ich eine, die alle anderen Flaggen enthält.

Ja das wäre doch dann bei deinem Beispiel

$\begin{eqnarray*} U_2=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

04.12.2006, 17:44

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

nee sorry das war wieder total falsch... hmm das macht irgendwie kein sinn

oder kann man sagen das jeder vektorraum eine maximale flagge besitzt da ja jeder vektorraum auch zumindest einen unterraum enthält... Dies wäre dann ja die maximale Flagge.
Hat er weitere unterräume so ist die Flagge maximal da der Vektorraum sich selbst ja als Unterraum enthält und diese wiederraum alle anderen Unterräume was somit die maximale Flagge ist.

Omg ?

04.12.2006, 18:16

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du deine Ausführungen bitte auch mal so formulieren, dass man sie verstehen kann? Ich persönlich verstehe da echt nur Bahnhof ...

Gruß MSS

04.12.2006, 19:05

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm also die Kurzform :

Hat jeder Vektorraum eine maximale Flagge ?

Ja denn jeder Vektorraum hat sich selbst als Unterraum.
Dieser Unterraum beinhaltet damit alle weiteren möglichen Unterräume des Vektorraums.
Die maximale Fahne (also diese Menge an Unterräumen) begint immer mit dem Nullunterraum und endet mit dem Vektorraum selber.

Hmm weiß nur nicht wie ich das aufschreiben kann falls es stimmen sollte

04.12.2006, 19:24

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Hab grad nen Beweis gefunden der aber für mich absolut unbrauchbar ist und absolut nicht verständlich da viel zu viele Sachen noch unbekannt für mich sind.

Was jedoch nützlich ist :
Sei V ein K-Vektorraum. Eine Fahne der Länge r von V ist eine echt aufsteigende Folge

V0 c V1 c V2 c ... c Vr

von Unterräumen von V

Die Fahne heißt vollständig, falls folgende Bedingungen erfüllt sind.
(i) V0 = {0}
(ii) Vr = V
(iii) $\begin{eqnarray*} dim V_{i+1} = dim V_i + 1 \end{eqnarray*}$ für i=0,...,r-1

Die ersten beiden Bedingungen hatte ich mir ja schon gedacht.
Die letzte jedoch versteh ich nicht ganz

Edit : Ich glaub die letzte Bedingung ist fast auch klar.
Soll ja nur heißen, dass die Dimension von i+1 und dies ist ja mein Vr und damit mein Vektorraum selber gleich der Dimension von Vi +1 ist hmm was ganau ist denn dieses $\begin{eqnarray*} V_i +1 \end{eqnarray*}$ ?

Ist es der letzte Unterraum meiner Fahne ?

04.12.2006, 19:51

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SilverBullet
Hat jeder Vektorraum eine maximale Flagge ?

Ja denn jeder Vektorraum hat sich selbst als Unterraum.
Dieser Unterraum beinhaltet damit alle weiteren möglichen Unterräume des Vektorraums.

Das geht so nicht! Klar sind alle Unterräume Teilmenge des gesamten Vektorraums. Aber nicht jeder Unterraum ist Teilmenge eines anderen! Nehmen wir z.B. den Fall $\begin{eqnarray*} V=\mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Du bist ja der Meinung, dass $\begin{eqnarray*} F_{\max}=\{U\ |\ U\text{ ist Unterraum von }V\} \end{eqnarray*}$ die maximale Flagge ist. Das ist aber falsch! Denn:
1. Diese Menge ist nicht endlich.
2. Für die beiden Vektorräume $\begin{eqnarray*} U_3=\{(0,y)\in\mathbb R^2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U_0=\{(x,0)\in\mathbb R^2\} \end{eqnarray*}$ gilt weder $\begin{eqnarray*} U_3\subset U_0 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} U_0\subset U_3 \end{eqnarray*}$ !
Du siehst, so geht das also nicht. Wir brauchen einfach mal eine klare Definition des Begriffs "maximale Flagge".
Bei (iii) soll das nicht $\begin{eqnarray*} V_i+1 \end{eqnarray*}$ heißen, sondern $\begin{eqnarray*} \dim(V_i)+1 \end{eqnarray*}$ . Zu der Dimension wird also einfach $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ addiert.

Gruß MSS

04.12.2006, 20:20

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ok also dann müssten doch die einzelnen Elemente der Fahne also meine Unterräume nur die 0 gemeinsam haben.

Eine vollständige Fahne von V ist eine Folge von Unterräumen:
$\begin{eqnarray*} {0}=V_0 \subset ... \subset V_n=V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} dim(V_i)=i \end{eqnarray*}$

Hoffe das dies so als Definition taugst ansonsten weiß ich einfach überhaupt nicht mehr weiter

04.12.2006, 20:57

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von SilverBullet
Hmm ok also dann müssten doch die einzelnen Elemente der Fahne also meine Unterräume nur die 0 gemeinsam haben wenn man sie schneidet.

Nein, eben gerade nicht. Wenn sie nur die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ gemeinsam haben, dann können sie nicht in einer Flagge liegen. Es muss immer einer von jeweils zwei Unterräumen Teilmenge des anderen sein.
Falls eine "maximale Flagge" nun eine "vollständige Flagge" sein soll, dann gibt es mehrere solche maximale Flaggen. Die Aufgabe ist also anscheinend so zu verstehen, dass mind. eine existiert. Und das zu beweisen, ist nicht schwierig.

Gruß MSS

04.12.2006, 22:00

SilverBullet

Auf diesen Beitrag antworten »

und wie fängt man den beweis an ? mir fällt da einfach nichts ein zu

04.12.2006, 22:15

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei $\begin{eqnarray*} \dim V=n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (b_1,\ldots,b_n) \end{eqnarray*}$ eine Basis. Sei $\begin{eqnarray*} U_0=\{0\} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} U_k=\langle b_1,\ldots,b_k\rangle \end{eqnarray*}$ .

Zeige, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} U_0\subset U_1\subset U_2\subset \ldots \end{eqnarray*}$ .

Ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ endlich, so ist $\begin{eqnarray*} U_n=V \end{eqnarray*}$ .

Für Basen abzählbarer Länge (d.h. Vektorräume mit Dimension $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ) kannst du das Verfahren so übertragen. Für überabzählbare Dimensionen wüsste ich noch nicht, wie man dort eine vollständige Flagge konstruieren bzw. ihre Existenz beweisen kann.

edit: Ich sehe gerade, dass eine Flagge ja immer nur eine endliche Menge ist. Für unendlich-dimensionale Vektorräume gibt es also keine vollständigen Flaggen. Vergiss also die letzten beiden Sätze.

edit2: Hab erst jetzt wieder die Definition von "maximaler Flagge" oben gesehen. In deiner Aufgabenstellung ist ja eine Flagge nicht notwendigerweise eine endliche Menge, richtig? Wenn ja, dann wäre mein erster Edit natürlich hinfällig.

Gruß MSS

Neue Frage »

Antworten »

Flagge eines Vektorraumes

Verwandte Themen