Induktion, Matrizen

05.04.2011, 17:27

LoBi

Induktion, Matrizen

Hallo habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ein Körper und $\begin{eqnarray*} A =(a_{i_{j}}) \in M(n \times n , \mathbb K) \end{eqnarray*}$ die Matrix mit:

$\begin{eqnarray*} (a_{i_{j}})= \begin{cases} 1, & j=i+1\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

(i) Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^3. \end{eqnarray*}$
(ii) Formulieren Sie eine Vermutung für den Wert von $\begin{eqnarray*} A^k \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ) und beweisen Sie diese mittels vollständiger Induktion.

zu ii) Hab mal für verschiedene Matrizen $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A^3 \end{eqnarray*}$ berechnet, was mich dann zur folgenden Aussage bringt:

$\begin{eqnarray*} A^k=\prod_{i=1}^k A =(a_{i_{j}})= \begin{cases} 1, & j=i+k\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$
Die muss ich jetz per Induktion beweisen:

IA: Für $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A= (a_{i_{j}})= \begin{cases} 1, & j=i+1\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Beim Induktionsschritt weiss ich jetzt nich so recht wie ich das machen soll.

IS: $\begin{eqnarray*} k \to k+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{k+1}=A^k A=\begin{cases} 1, & j=i+k+1\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Hmm weiss wahrscheinlich nur nich wie ich es richtig aufschreiben soll.
Gruß

05.04.2011, 17:56

Math1986

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RE: Induktion, Matrizen

Zitat:

Original von LoBi
Beim Induktionsschritt weiss ich jetzt nich so recht wie ich das machen soll.

IS: $\begin{eqnarray*} k \to k+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{k+1}=A^k A=\begin{cases} 1, & j=i+k+1\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Hmm weiss wahrscheinlich nur nich wie ich es richtig aufschreiben soll.
Gruß

Da musst du deine Induktionsannahme verwenden:
$\begin{eqnarray*} A^k=\prod_{i=1}^k A =(a_{i_{j}})= \begin{cases} 1, & j=i+k\\ 0, & \text{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$
So erhälst du ein berechenbares Matrixprodukt

06.04.2011, 12:33

LoBi

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Hab mir folgendes überlegt:
$\begin{eqnarray*} A^k=\prod_{i=1}^k%20A%20=(a_{i_{j}})=%20\begin{cases}%201,%20&%20j=i+k\\%200,%20&%20\text{sonst}%20\end{cases} \end{eqnarray*}$
Ist ja dasselbe wie:

$\begin{eqnarray*} A^k=\begin{pmatrix} 0 & E_{n-k} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

IA:
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 0 & E_{n-1} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

IS:
zzg: $\begin{eqnarray*} A^{k+1}=\begin{pmatrix} 0 & E_{n-(k+1)} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A^{k}A=\begin{pmatrix} 0 & E_{n-k} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & E_{n-1} \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & E_{n-(k+1)} \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gruß

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