lineare Abhägigkeit

04.12.2006, 16:56

Unbeholfen

lineare Abhägigkeit

Hallo, ich soll prüfe, ob die Teilmeneg M des K- Vektorraums V linear unabhängig, bzw. abhägig sind!

K = R
V = R [x]
M{ x^2 + x + 1, 3x^2 + 4x + 5, x^2 + 2x + 3}

ich hab raus, dass sie es nicht sind, hab aber gehört, dass es liear abhängig sein soll....

und dann hätt ich och ne Frage, was bedeutet F_3, bzw. was für ein Raum ist das?

04.12.2006, 17:04

Mathespezialschüler

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Hallo!

Zitat:

Original von Unbeholfen
ich hab raus, dass sie es nicht sind

Sie sind linear abhängig, mit einem guten Auge sieht man das sogar direkt. Augenzwinkern

Aber zeig einfach mal deinen Rechenweg!

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_3 \end{eqnarray*}$ ist der sogenannte Restklassenkörper modulo 3.

Gruß MSS

04.12.2006, 17:17

Unbeholfen

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ich muss doch

a(x^2 + x + 1) + b( 3x^2 + 4x + 5) + c( x^2 + 2x + 3)= 0 rechnen?

dann kann ich das in Form vonner Matrik schreiben:
x^2 + x + 1 = 0
3x^2 + 4x + 5 = 0
x^2 + 2x + 3 = 0 ?

oder geh ich da gaz falsch ran?

04.12.2006, 18:11

Mathespezialschüler

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Wo ist da die Matrix? Und inwiefern sind die Variablen $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ jetzt überhaupt noch relevant in deiner Rechnung? Mit welcher Begründung kannst du denn sagen, dass

$\begin{eqnarray*} a(x^2+x+1)+b(3x^2+4x+5)+c( x^2+2x+3)=0 \end{eqnarray*}$

äquivalent zu

$\begin{eqnarray*} x^2+x+1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x^2+4x+5=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2+2x+3=0 \end{eqnarray*}$

ist???
Du solltest diese Gleichung lieber in die Form

$\begin{eqnarray*} \alpha x^2+\beta x+\gamma=0 \end{eqnarray*}$

bringen und dann kannst du wegen $\begin{eqnarray*} 0=0x^2+0x+0 \end{eqnarray*}$ einen Koeffizientenvergleich machen.

Gruß MSS

04.12.2006, 18:23

Unbeholfen

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ich glaub dann hab ich ne komplette dekfehler vom ansatz her.

also schreib ich das dann so?

$\begin{eqnarray*} \alphax^2+\betax+\gamma1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha3x^2+\beta4x+\gamma5=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alphax^2+\beta2x+\gamma3=0 \end{eqnarray*}$

und wie komm ich dann auf
$\begin{eqnarray*} 0=0x^2+0x+0 \end{eqnarray*}$ ? weil dan hab ich ja 6 unbekannte in der Gleichung, bzw. ist das dann die einzige Lösung wenn alpha, beta und gamma 0 sind? muss ich auch überprüfen, wie es ausschaut, wenn nur eins null ist?

04.12.2006, 18:24

Unbeholfen

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$\begin{eqnarray*} \alpha x^2+\beta x+\gamma 1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha 3x^2+\beta 4x+\gamma 5=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha x^2+\beta 2x+\gamma 3=0 \end{eqnarray*}$

04.12.2006, 18:52

Mathespezialschüler

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Nein, ich meinte eigentlich die Gleichung

$\begin{eqnarray*} a(x^2+x+1)+b(3x^2+4x+5)+c(x^2+2x+3)=0 \end{eqnarray*}$ .

Die kannst du auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} (a+3b+c)x^2+(a+4b+2c)x+(a+5b+3c)=0 \end{eqnarray*}$ .

Dabei ist also $\begin{eqnarray*} \alpha=a+3b+c,\beta=a+4b+2c,\gamma=a+5b+3c \end{eqnarray*}$ . Wenn diese Gleichung für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gelten soll, dann folgt:

$\begin{eqnarray*} a+3b+c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+4b+2c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a+5b+3c=0 \end{eqnarray*}$ .

Und das ist ein lineares GLS.

Gruß MSS

04.12.2006, 20:23

Unbeholfen

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nur och ne andere kurze frage, wenn du sagst F_3 ist ja der sogenannte restklassenkörper mudolo 3

was ist dann (F_3)^4?
ist das dan etwa der restklassenkörper mudolo 196 (also 3*4*4*4*4)?

04.12.2006, 20:51

Dr. Logik

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Nein!

$\begin{eqnarray*} ( \mathbb{F} _3) ^4 \end{eqnarray*}$ ist einfach ein 4-dimensionaler $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_3 \end{eqnarray*}$ -Vektorraum. Genauso wie $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ein 2-dimensionaler $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ -Vektorraum ist.

Viele Grüße, Dr. Logik

05.12.2006, 01:06

Unbeholfen

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ich hab nur noch eine Frage Augenzwinkern

heißt das dann, dass wenn ich lineare Abhängigkeit nachweisen will nicht = 0 auf der rechten Seite steht, sondern 3?

05.12.2006, 02:18

Mathespezialschüler

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Jein, wenn du Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,\ldots,v_n \end{eqnarray*}$ auf lineare (Un-)Abhängigkeit prüfst, musst du immer die Gleichung

$\begin{eqnarray*} a_1v_1+\ldots+a_nv_n=0 \end{eqnarray*}$

untersuchen. In $\begin{eqnarray*} \mathbb F_3^4 \end{eqnarray*}$ ist der Nullvektor ja der Vektor $\begin{eqnarray*} 0=([0],[0],[0],[0]) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} [0] \end{eqnarray*}$ die Restklasse modulo 3 ist, die bei Teilung durch 3 den Rest $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ lässt. Natürlich ist $\begin{eqnarray*} [0]=[3] \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} ([0],[0],[0],[0])=([3],[3],[3],[3]) \end{eqnarray*}$ , aber dabei ist immer zu beachten, dass es um die Restklassen geht und nicht um ganze Zahlen! Genauso könnte ich übrigens Folgendes schreiben:

$\begin{eqnarray*} ([0],[0],[0],[0])=([15282],[15282],[15282],[15282]) \end{eqnarray*}$ .

Gruß MSS

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