algebraische Strukturen (Restklassen) (Köln Grundzüge II)

06.04.2011, 17:53

dreikommadrei

algebraische Strukturen (Restklassen) (Köln Grundzüge II)

(1) Gegeben seien die beiden algebraischen Strukturen ( $\begin{eqnarray*} Z_{7} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ ) und ( $\begin{eqnarray*} Z_{7}^{*} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ ). (was sagt das *?)
(a) Stellen Sie die Verknüpfungstafeln auf.
(b) Geben Sie zu jedem Element das Inverse an.
(c) Prüfen Sie, ob es in den beiden Gruppen Elemente gibt, die die Gruppen erzeugen. Dabei
heißt ein Element a erzeugendes Element einer Gruppe (G, * ), wenn man jedes Element der
Gruppe erhalten kann, indem man a hinreichend oft mit sich selbst verknüpft.

a)
$\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ 1 2 3 4 5 6 0
1 . 2 3 4 5 6 0 1
2 . 3 4 5 6 0 1 2
3 . 4 5 6 0 1 2 3
4 . 5 6 0 1 2 3 4
5 . 6 0 1 2 3 4 5
6 . 0 1 2 3 4 5 6
0 . 1 2 3 4 5 6 0

$\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ 1 2 3 4 5 6 0
1 . 1 2 3 4 5 6 0
2 . 2 4 6 1 3 5 0
3 . 3 6 2 5 1 4 0
4 . 4 1 5 2 6 3 0
5 . 5 3 1 6 4 2 0
6 . 6 5 4 3 2 1 0
0 . 0 0 0 0 0 0 0

Alles Restklassen allerdings weiß ich gerade nichtm wie ich hier einen Strich über die Zahl setze

b)
( $\begin{eqnarray*} Z_{7} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ )
Element | Inverses
1 | -1
2 | -2
3 | -3
4 | -4
5 | -5
6 | -6
0 | 0

( $\begin{eqnarray*} Z_{7}^{*} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ ).
Keine Inversen da die algebraische Struktur nur aus ganzen Zahlen bzw aus Restklassen mit ganzen Zahlen besteht.

c)
( $\begin{eqnarray*} Z_{7} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ )
hier wäre das Element a = 1 da ich mit der Verknüpfung + ja alle Elemente durch die Restklasse 1 erzeugen kann
Aber wie genau Prüfe ich so etwas?

( $\begin{eqnarray*} Z_{7}^{*} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ )
Hier gibt es kein solches Element a

Stimmen meine Ansätze soweit?

06.04.2011, 18:01

Mystic

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RE: algebraische Strukturen (Restklassen) (Köln Grundzüge II)
a) Was hat die 0 in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7^* \end{eqnarray*}$ verloren?
b) Für die Inversen zu $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ musst du jeweils die Gleichungen $\begin{eqnarray*} a \oplus x = 0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} a \otimes x =1 \end{eqnarray*}$ lösen... Jedes Element hat ein Inverses...
c) Beide Gruppen haben Erzeugende...

06.04.2011, 18:11

dreikommadrei

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RE: algebraische Strukturen (Restklassen) (Köln Grundzüge II)
a) ich dachte es handelt sich um Restklassen verwirrt

und Modulo 7 hat als Rest doch nur 0,1,2,3,4,5 und 6?

b) $\begin{eqnarray*} a \otimes x = 1 \end{eqnarray*}$ heißt das z.B. a=5 -> x=3 (aufgrund von a)?

c) Aber wie erhalte ich bei der $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ Gruppe 0 wenn ich a ausreichend verknüpfe?

06.04.2011, 18:22

Mystic

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RE: algebraische Strukturen (Restklassen) (Köln Grundzüge II)
a) 0 ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7^* \end{eqnarray*}$ nicht enthalten, da es kein Inverses hat...
b) Ja, zu 5 ist 3 invers bez. $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ ... Was ist das Inverse zu 5 bez. $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ ?
c) 0 ist in der Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7^* \end{eqnarray*}$ ja nicht dabei, wie ich schon gesagt habe...

06.04.2011, 18:34

dreikommadrei

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RE: algebraische Strukturen (Restklassen) (Köln Grundzüge II)

Zitat:

Original von Mystic
a) 0 ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7^* \end{eqnarray*}$ nicht enthalten, da es kein Inverses hat...
b) Ja, zu 5 ist 3 invers bez. $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ ... Was ist das Inverse zu 5 bez. $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ ?
c) 0 ist in der Gruppe $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7^* \end{eqnarray*}$ ja nicht dabei, wie ich schon gesagt habe...

a) also hat $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_7^* \end{eqnarray*}$ auch nur 6 restklassen?

$\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ 1 2 3 4 5 6
1 . 1 2 3 4 5 6
2 . 2 4 6 1 3 5
3 . 3 6 2 5 1 4
4 . 4 1 5 2 6 3
5 . 5 3 1 6 4 2
6 . 6 5 4 3 2 1

b) 2 smile

da 0 das neutrale Element ist
c) dann wäre 5 das erzeugende Element da

$\begin{eqnarray*} 5\otimes 5 = 4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5\otimes 4 = 6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5\otimes 6 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5\otimes 2 = 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5\otimes 3 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5\otimes 1 = 5 \end{eqnarray*}$ (kann man sich aber schenken)

06.04.2011, 18:40

Mystic

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RE: algebraische Strukturen (Restklassen) (Köln Grundzüge II)
Ja, das stimmt jetzt alles, aber in c) ist 5 nur ein erzeugendes Element, und nicht das erzeugende Element...

06.04.2011, 18:45

dreikommadrei

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RE: algebraische Strukturen (Restklassen) (Köln Grundzüge II)

Zitat:

Original von Mystic
Ja, das stimmt jetzt alles, aber in c) ist 5 nur ein erzeugendes Element, und nicht das erzeugende Element...

stimmt, die 3 erzeugt auch noch.

DANKE!

11.04.2011, 10:21

dreikommadrei

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Noch einmal kurz eine Frage

einige Kommilitonen sagen, dass es bei $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ keine Inversen gibt.
Begründung: das Inverse von 2 ist 0,5 und 0,5 ist nicht in der Restklasse 4

aber was stimmt denn nun?

11.04.2011, 10:33

Mystic

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Zitat:

Original von dreikommadrei
einige Kommilitonen sagen, dass es bei $\begin{eqnarray*} \otimes \end{eqnarray*}$ keine Inversen gibt.
Begründung: das Inverse von 2 ist 0,5 und 0,5 ist nicht in der Restklasse 4

aber was stimmt denn nun?

Das ist ja die lustigste Begründung die ich je in meinem Leben gehört habe... Sie berechnen das Inverse von 2 im Bereich der reellen Zahlen (!!!) und wundern sich dann darüber, dass keine Restklasse mod 7, sondern eine reelle Zahl dabei herauskommt... Forum Kloppe