Doppelintegral

07.04.2011, 10:43

Mystic

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Doppelintegral

Hier mal zur Abwechslung eine analytische Tüftelei, nämlich das Doppelintegral

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^1 \frac {dx \, dy}{1-x^2y^2} \end{eqnarray*}$

Es geht darum, dieses mit einer geeigneten Substitution zu berechnen... Wer einen anderen Weg findet, kann ihn natürlich auch hier posten, doch wäre das dann noch nicht die eigentliche Lösung im Sinne der Problemstellung...

Schade nur, dass ich mich selbst nicht mehr daran beteiligen kann, da ich schon weiß wie's geht... Big Laugh

Big Laugh

07.04.2011, 14:47

René Gruber

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Über

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x^2y^2} = \sum_{k=0}^{\infty} x^{2k}y^{2k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |xy|<1 \end{eqnarray*}$

bekommt man natürlich rasch den Integralwert

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} \end{eqnarray*}$ .

Aber das ist ja naturgemäß nicht die Substitutionslösung, auf die du aus bist. Ich hab sie trotzdem gepostet - schon allein, um den Thread wieder "nach vorn" zu holen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.04.2011, 15:25

Mystic

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Ja, stimmt vom Endresultat her schon mal, wenngleich der Rechenweg ein anderer als der "vorgeschriebene" ist... Freude

Freude

Immerhin kann man aufgrund dieses Ergebnisses schon mal vermuten, dass bei der gesuchten Substitution wahrscheinlich trigonometrische Funtionen im Spiel sind... Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.04.2011, 15:47

René Gruber

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Das hab ich mir auch gedacht, jedoch war mein diesbezüglicher Versuch ohne Erfolg: Denn dein Weg muss ja so kurz sein, dass er den obigen schlägt oder zumindest ebenbürtig ist, sonst hättest du den Thread ja gar nicht eröffnet. Big Laugh

Big Laugh

07.04.2011, 15:53

Mystic

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Naja, so kurz ist dein Weg summa summarum gar nicht, denn genau genommen musst du ja auch die Herleitung von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)^2} = \frac{\pi^2}{8} \end{eqnarray*}$ .

miteinrechnen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.04.2011, 15:56

René Gruber

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Das ist Allgemeinbildung. Big Laugh

Big Laugh

Ok, natürlich hast du da ja Recht.

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07.04.2011, 15:59

Mulder

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Ich hatte jetzt einfach mal

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\sin(t)}{y} \end{eqnarray*}$

ausprobiert, um das y aus dem Bruch zu beseitigen. Das Integral über t lässt sich damit immerhin erledigen, auch wenn das Integral 1/cos(t) etwas unschön ist. Aber erstens gibt das keine so schönen Werte und zum anderen verbleibt dann das Integral von 1/y mit unterer Grenze 0, was nicht so toll ist...

verwirrt

verwirrt

Lass ich mal stehen, vielleicht geht's ja nicht in die komplett falsche Richtung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.04.2011, 16:06

Mystic

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@Mulder

Sind bei einer Substitution in so einem Fall nicht automatisch zwei Variablen u und v im Spiel, also

$\begin{eqnarray*} x =x(u,v), \ y=y(u,v) \end{eqnarray*}$

oder verstehe ich da was falsch? verwirrt

verwirrt

07.04.2011, 16:08

René Gruber

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@Mulder

Das hatte ich auch probiert, aber es führt ja auch nur zu

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 ~ \frac{\ln(1+y)-\ln(1-y)}{2y} ~ \dd y = \int\limits_0^1 ~ \frac{\operatorname{artanh}(y)}{y} ~ \dd y \end{eqnarray*}$ ,

was man auch durch direkte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Integration haben kann.

Ich denke ja, Mystic hat eine "echte" zweidimensionale Substitution $\begin{eqnarray*} (x,y)\to (u,v) \end{eqnarray*}$ im Sinn, aber noch fällt bei mir nicht der Groschen. verwirrt

verwirrt

P.S: ... da haben wir's. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.04.2011, 16:10

Equester

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Ich bin ja eher einvariablige Probleme gewohnt :P
Aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x²} \end{eqnarray*}$ schaut mir nach arctanh aus verwirrt

verwirrt

07.04.2011, 16:22

Mulder

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Zitat:

Original von Equester
Aber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-x²} \end{eqnarray*}$ schaut mir nach arctanh aus verwirrt

verwirrt

Ist es auch, wenn du einfach xy=z substituierst. Aber dann landest du ebenfalls wieder genau da, was Rene Gruber da jetzt ausgeschrieben hat. Bringt nur eben nicht viel.

Edit: Sehe allerdings gerade, dass das jetzt wohl ohnehin ein Kreuzpost war, da habe ich dir also wohl nicht viel neues erzählt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im zweidimensionalen da was passendes zu finden ist auch nicht unbedingt einfacher. Aber da führt wohl hier kein Weg dran vorbei... bastle auch schon eine Weile rum, finde aber nichts.

07.04.2011, 20:52

Mystic

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Ok, dann vielleicht noch ein Hinweis: Man kann die Funktionen

$\begin{eqnarray*} x=x(u,v), \ y=y(u,v) \end{eqnarray*}$

für die Substitution so wählen, sodass sich die Grenzen danach wie folgt transformieren

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^1 \to \int_0^{\pi/2} \int_0^{\pi/2} \end{eqnarray*}$

Das sollte die Anzahl der Möglichkeiten doch stark einschränken... Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.04.2011, 02:43

Airblader

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Also mit einer Partialbruchzerlegung komme ich für den Moment zu

$\begin{eqnarray*} \int_0^1~\int_0^1~\frac{\dd x \dd y}{1-x^2y^2} = \int_0^1~\frac{\ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right)}{2y}~\dd y \end{eqnarray*}$

... Aber ob das einen weiterbringt? Big Laugh

Big Laugh

Den Weg von René finde ich jedenfalls schonmal auch ganz schön. War aber natürlich nicht die Aufgabenstellung .. naja, ist mein bisheriger Weg aber auch nicht .. Big Laugh

Big Laugh

air

08.04.2011, 11:34

Mulder

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Zitat:

Original von Airblader
$\begin{eqnarray*} \int_0^1~\int_0^1~\frac{\dd x \dd y}{1-x^2y^2} = \int_0^1~\frac{\ln\left(\frac{1+y}{1-y}\right)}{2y}~\dd y \end{eqnarray*}$

... Aber ob das einen weiterbringt? Big Laugh

Big Laugh

Wohl kaum, denn du bist mittlerweile der vierte, der diesen Vorschlag einbringt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

(oder ich habe jetzt einen Witz nicht verstanden)

08.04.2011, 12:01

Airblader

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Huch. Nein, war kein Witz. Ich hatte bisher nur Renes ersten Vorschlag gelesen. Sorry. Big Laugh

Big Laugh

air

11.04.2011, 20:30

Mystic

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Hier noch ein letzter Hinweis vor der Auflösung des Rätsels... Für die gesuchte Substitution

$\begin{eqnarray*} x=x(u,v), \ y=y(u,v) \end{eqnarray*}$

werden keine hier anderen Funktionen als Sinus und Cosinus benötigt und auch für die Verknüpfungen keine anderen als die Grundoperationen in jedem Körper... Augenzwinkern

Augenzwinkern

14.04.2011, 18:25

Mystic

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Hier nun die Auslösung des Rätsels, da inzwischen der anfängliche Eifer wohl schon sehr erlahmt ist...

Es geht hier um die Substitution

$\begin{eqnarray*} x = \frac {\sin u}{\cos v}, \quad y = \frac {\sin v}{\cos u} \end{eqnarray*}$

Wie jeder selbst nachrechenen möge, ergibt sich für die Funktionaldeterminante dann

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \end{vmatrix}=1-x^2y^2 \end{eqnarray*}$

d.h., wir erhalten das neue Doppelinegral in u und v

$\begin{eqnarray*} \int \int_D du\, dv \end{eqnarray*}$

wobei D der Bereich ist, über den integriert werden muss, wobei natürlich dann insgesamt genau die Fläche von D herauskommt... Es geht also nur mehr darum, diesen Bereich D zu bestimmen... Aufgrund der Beschränkung

$\begin{eqnarray*} 0 \le x = \frac {\sin u}{\sin(\pi/2-v)} < 1, \quad 0 \le y = \frac {\sin v}{\sin(\pi/2-u)} < 1 \end{eqnarray*}$

ist D gegeben durch

$\begin{eqnarray*} 0 \le u+v < \pi/2, \quad u,v \in [0, \pi/2) \end{eqnarray*}$

und hat somit die Form eines gleichschenkeligen rechtwinkeligen Dreiecks mit den Kathetenlänge $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ , womit sich seine Fläche A zu

$\begin{eqnarray*} A= \frac {\pi^2}8 \end{eqnarray*}$

ergibt, wie René schon auf anderem Wege herausgefunden hat...

An dieser Stelle möchte ich mich auch entschuldigen dafür, dass ich zwar richtig angegeben habe, zwischen welchen Grenzen u und v variieren können, aber nicht obige einschränkende Bedingung für u+v... unglücklich

unglücklich

Ich hoffe, dass dieser fehlerhafte Hinweis jetzt nicht der Grund dafür war, dass niemand obige Substitution gefunden hat und es den Spaß an der Sache nicht verdorben hat... Wink

Wink

14.04.2011, 18:28

Equester

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Kein Wunder, dass ichs nicht hinbekommen hab.
(Also nicht wegen deines Hinweises, sondern wegen meiner Unbedarftheit :P)

Trotzdem nettes Rätsel Freude

Freude

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