(Z,+) zyklisch, Erzeuger

07.04.2011, 11:40	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
(Z,+) zyklisch, Erzeuger Hi, ich habe da wohl gerade einen kleinen Denkfehler, den bestimmt jemand beheben kann. Die Gruppe Z soll ja bzgl. + beispielsweise zyklisch sein, Erzeuger wären zum Beispiel -1 und 1 (bzw. das sind ja eigentlich alle, oder?). Allerdings ist mir nicht so ganz ersichtlich, wie zum Beispiel die 1 bzgl. "+" ganz Z erzeugen kann. Bei den echtpositiven Zahlen gibt's keine Probleme, aber wie erzeuge ich mit der 1 das neutrale Element und die negativen Zahlen? Da müsste ich ja auch die -1 als Erzeuger hinzunehmen, denn ich verstehe die Subtraktion eigentlich als Addition des additiv Inversen und wenn ich die -1 beispielsweise erzeugen will, mache ich das doch durch +(-1). Also nutze ich die -1 zum Erzeugen. Aber dann kann die 1 allein ja kein Erzeuger von Z mehr sein. Bei dem ganzen Restklassenkram Z/nZ habe ich dieses Problem nicht, aber wenn es um ganz Z geht, habe ich hier ein Verständnisproblem. Hoffe, da kann mir jemand erklären, wie man das rechtfertigt.
07.04.2011, 11:52	lgrizu	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: (Z,+) zyklisch, Erzeuger Betrachten wir eine beliebige multiplikative Gruppe G (ich weiß, Z ist additiv, aber das ist ja irrelevant), dann ist a Erzeuger der Gruppe, wenn gilt : $\begin{eqnarray} G=\left\{a^n:n \in G\right\} \end{eqnarray}$ . Nun ist a^n ja folgendermaßen definiert: $\begin{eqnarray} a^0=e \end{eqnarray}$ , wobei e das neutrale Element ist, $\begin{eqnarray} a^n=aaa...a \end{eqnarray}$ mit n Faktoren und n>0 $\begin{eqnarray} a^{-n}=(a^{-1})^n \end{eqnarray}$ , wobei a^(-1) das Inverse von a ist, und wieder n>0. Da das Inverse von a in Z liegt (denn (-1) liegt in Z), ist 1 bereits ein Erzeuger von Z.
07.04.2011, 11:53	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugen im multiplikativen Fall bedeutet, dass der Erzeuger, zb $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , alle Gruppenelemente trifft wenn man $\begin{eqnarray} a^n \end{eqnarray}$ betrachtet und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ läuft durch $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ , also insbesondere betrachtet man auch $\begin{eqnarray} a^{-1},a^{-2},... \end{eqnarray}$ . Für den additiven Fall umgeschrieben bedeutet das, dass ein Erzeuger, zb $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , alle Gruppenelemente trifft wenn man $\begin{eqnarray} n\cdot a \end{eqnarray}$ betrachtet, was eine Abkürzung für $\begin{eqnarray} a+a+a+...+a \end{eqnarray}$ ist. Insbesondere kommt auch $\begin{eqnarray} -a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -a-a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -a-a-a \end{eqnarray}$ usw vor. Für $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ bedeutet das [mit $\begin{eqnarray} a=1 \end{eqnarray}$ ]: $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+1+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1+1+1+1 \end{eqnarray}$ usw und $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -1-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -1-1-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -1-1-1-1 \end{eqnarray}$ usw.
07.04.2011, 12:01	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit: Ah, ich glaube, jetzt ist es doch klar. Ich habe wohl die Definition des Erzeugers falsch verstanden, mit den Bedingungen mit dem n ist es natürlich klar. Dieses "n läuft durch ganz Z" habe ich so nicht eingesehen, für mich lief n ja nur durch N, wenn ich nur Addition von +a zulasse. Danke euch beiden.
07.04.2011, 14:52	Mystic	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Denkfehler bestand darin, dass man für das Erzeugnis einer Untermenge S stets alle Operationen der betrachteten Algebra A heranziehen muss, das wäre also im Fal einer Gruppe 1. die nulläre Operation e (wobei e das Einselement der Gruppe ist) 2. die unäre Operation der Inversenbildung 3. die binäre Gruppenoperation Ist $\begin{eqnarray} S \ne \emptyset \end{eqnarray}$ , kann man sich 1. schenken... Ist die Gruppe endlich (oder allgemeiner eine Torsionsgruppe), so gilt das Gleiche für 2. ... Offenbar hat sich dieser letzte Fall so tief in dein Gedächtnis eingegraben, dass du das unerlaubterweise gleich auf unendliche Gruppen ausgedehnt hast...

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