Basis

07.04.2011, 12:59

Franke1

Basis

Meine Frage:
Sei p eine Primzahl und sei $\begin{eqnarray*} n\in N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$
Wie viele Elemente hat eine Basis von $\begin{eqnarray*} F_{p^{n} } \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} F_{p } \end{eqnarray*}$ -Vektorraum?

Meine Ideen:
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen, ich wüsste jetzt keinen Ansatz
Die Definition einer Basis lautet:
Sei B= $\begin{eqnarray*} (v_{i})i\in I \end{eqnarray*}$ eine Familie von Vektoren aus einem K-Vektorraum V,für die gilt:
1)B ist linear unabhängig
2)V wird von B erzeugt,d.h Lk(vi)=V
Dann heißt B eine Basis von V

07.04.2011, 15:59

Franke1

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hat keiner eine idee?

07.04.2011, 17:40

Triton

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Zitat:

Original von Franke1
hat keiner eine idee?

Ist die Frage ernst gemeint?
Falls ja:
Das mag nun unglaublich für dich klingen, aber vielleicht gibt es ja doch ein paar Menschen die von 13:00 bis 15:00 Vorlesungen haben?

Innerhalb von 2 Stunden zu pushen ist eine Frechheit

07.04.2011, 17:57

lgrizu

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Ich bitte euch, euch zusammen zu reißen.....

Meinst du wirklich den Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{q^n} \end{eqnarray*}$ ?

Oder vielleicht eher den Vektorraum der Dimension n über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb F_q \end{eqnarray*}$ , also den Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb F_q^n \end{eqnarray*}$ ?

07.04.2011, 18:05

tmo

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Nur eine kleine Anmerkung/Frage zur Notation:

Zitat:

Original von lgrizu
Meinst du wirklich den Ring $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{q^n} \end{eqnarray*}$ ?

Macht für eine Primzahl q der Begriff des Ringes $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{q^n} \end{eqnarray*}$ so Sinn? Also wenn du damit jetzt $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/q^n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ meinst?

Weil normalerweise meint man doch, wenn eine Primzahl q und ein natürliche Zahl n gegeben ist, mit $\begin{eqnarray*} \mathbb F_{q^n} \end{eqnarray*}$ immer den Körper (engl. Field, daher das F) mit $\begin{eqnarray*} q^n \end{eqnarray*}$ Elementen, z.b. realisiert durch $\begin{eqnarray*} \mathbb F_q[X]/p\mathbb F_q[X] \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb F_q[X] \end{eqnarray*}$ irreduzibel vom Grad n ist.

Natürlich ist ein Körper auch immer ein Ring, aber wenn es schon ein Körper ist, kann man das Kind auch beim Namen nennen Augenzwinkern