Reihe (Kreise in ein Dreieck)

07.04.2011, 16:10

Colt

Reihe (Kreise in ein Dreieck)

In einem gleichseitigen Dreieck werden in n Reihen möglichst dicht gepackt gleichgroße Kreise verteilt. Hierbei bezeichne A den Flächeninhalt des Dreiecks und An die Gesamt Fläche aller Kreise.

Meine Aufgabe ist es nun zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{An}{A} \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{\pi}{2\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Als erstes hab ich den Flächeninhalt des Dreiecks der Seitenlänge a berechnet:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich eine Summe für die Anzahl der Kreise aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich ja nurnoch Die Anzahl der Kreise mal deren Fläche multiplizieren, aber da hapert es. Ich kenn ja garnicht den Radius.

07.04.2011, 16:17

René Gruber

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Mach dir eine Skizze der ersten Kreis-Reihe, dann kannst du eine Bestimmungsgleichung für diesen Radius aus den geometrischen Gegebenheiten aufstellen.

07.04.2011, 16:49

Colt

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Also wenn nur ein Kreis im Dreieck ist, dann ist der radius 1/3 der Höhe. Nur leider wird der Radius pro Schritt immer kleiner.

07.04.2011, 17:05

René Gruber

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Herrje, ich rede natürlich bereits von der Packung mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Kreisen in der ersten, unteren Reihe.

07.04.2011, 17:08

Colt

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Okay, dann denke ich mal, dass die Radien addiert a/2 ergeben würden, also ist der Raius eines Kreises a/(2n).

07.04.2011, 17:12

René Gruber

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In dem Fall ragen die Kreise über die Dreiecksbegrenzung hinaus. Ich habe die Aufgabenstellung so verstanden, dass sie vollständig im Inneren liegen müssen, d.h. die Dreiecksseiten allenfalls von innen berühren. Da musst du also nachbessern.

EDIT: Anbei eine Skizze für Fall n=3

[attach]18988[/attach]

07.04.2011, 18:15

Colt

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Also die 3 Kugeln nehmen zunächst mal für die Seite a 4 mal den Radius in Anspruch. Dazu kommt 2 mal die Seite AS (Symmetrie).
Die Seite AS lässt sich als r/cos(30°) darstellen.

verwirrt

$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \frac{r}{\frac{\sqrt{3} }{2} } +4r &=& a \\ \frac{4r}{\sqrt{3} } +4r &=& a \\ 1\frac{1}{\sqrt{3} } r &=& \frac{1}{4}~ a \\<br /> r &\approx& 0,158a \end{eqnarray*}$

Kann ich das jetzt auf den n-ten Fall übertragen?

07.04.2011, 18:16

René Gruber

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Zitat:

Original von Colt
Die Seite AS lässt sich als r/cos(30°) darstellen.

Nein - du verwechselst Kosinus mit dem hier angebrachten Tangens.

07.04.2011, 18:22

Colt

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Mit dem Tangens komme ich auf rund 0,134 a.

08.04.2011, 15:10

René Gruber

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Ja - wobei zunächst die genaue Darstellung (mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ) anratsam wäre.

Nun die Verallgemeinerung, von $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ auf beliebige $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

08.04.2011, 21:15

Colt

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Danke, habs endlich heraus! smile

10.04.2011, 22:19

Goofy2

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Kann mir noch mal jemand dazu helfen, ich bearbeite dieselbe Aufgabe.

Wie komme ich denn nun allgemein auf den Radius im n-ten Fall?
anzahl der kreise ist ja soweit klar.

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