Automorphismengruppe [KAB]

07.04.2011, 23:56

tigerbine

Automorphismengruppe [KAB]

Zitat:

Jede endliche Gruppe G mit mindestens 3 Elementen hat einen Automorphismus $\begin{eqnarray*} \phi \neq \text{id}_G \end{eqnarray*}$ . Ja/nein

Wenn G nicht abelsch ist, so ist das Zentrum Z(G) ein echter Normalteiler von G und es ist $\begin{eqnarray*} 1<[G:Z(G)] =|G/Z(G)| \end{eqnarray*}$ . Wegen

$\begin{eqnarray*} G/Z(G) \cong \text{Inn}(G) \trianglelefteq \text{Aut}(G) \end{eqnarray*}$

würde ich in diesem Fall: ja sagen.

"Jede" umfasst aber auch die abelschen Gruppen. Hier komme ich nicht weiter. Ich hatte mir nur notiert, dass wenn die Inversion in Aut(G) ist, dass dann die Gruppe abelsch ist. Gilt da vielleicht auch die Umkehrung? Und ab 3 Elementen sind id und inv ja verschiedene Abbildungen.

Also, $\begin{eqnarray*} G \to G, a \mapsto a^{-1} \end{eqnarray*}$ ist sicher bijektiv. Wegen abelsch(*) folgt $\begin{eqnarray*} \phi(ab)=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1} \stackrel{*}= a^{-1}b^{-1}=\phi(a)\phi(b) \end{eqnarray*}$ somit auch ein Homomorphismus.

08.04.2011, 09:12

Manus

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Beachte, dass in Gruppen vom Exponenten 2 die Inversionsabbildung der Identität entspricht.

08.04.2011, 09:32

tigerbine

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Mmh, also die kleinste Gruppe mit >3 Elementen und Exponent 2 müsste doch die Kleinsche Vierergruppe sein. Da gilt $\begin{eqnarray*} Aut(V)\cong S_3 \end{eqnarray*}$ .

Frage ist, haben Gruppen vom Exponent 2 eine besondere Gestalt? Könnte man diesen Fall dann noch separat abhandeln? Ich denke an das hier.

08.04.2011, 10:10

Mystic

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Zitat:

Original von tigerbine
Mmh, also die kleinste Gruppe mit >3 Elementen und Exponent 2 müsste doch die Kleinsche Vierergruppe sein. Da gilt $\begin{eqnarray*} Aut(V)\cong S_3 \end{eqnarray*}$ .

Frage ist, haben Gruppen vom Exponent 2 eine besondere Gestalt? Könnte man diesen Fall dann noch separat abhandeln? Ich denke an das hier.

Du hast in deine Frage ja gleich die Antwort mit hineingepackt... Big Laugh

(Erinnert mich jetzt an bißchen an Politikerinterviews, wo die Frage oft schon so gestellt ist, dass der Zuschauer längst weiß wie die Antwort eigentlich aussehen müsste, auch wenn der Politiker selbst dann ganz was anderes sagt!)

Ja klar, abelsche Gruppen vom Exponenten p, p Primzahl, sind Vektorräume über $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_p \end{eqnarray*}$ und wie daher die Automorphismen aussehen, wurde im nämlichen Thread auch schon gesagt... Augenzwinkern

08.04.2011, 10:15

tigerbine

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Hehe.

Ok, dann ist die Fallunterscheidung ja abgeschlossen und ich kann im ersten post das "Ja" fett machen.

08.04.2011, 10:29

Mystic

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Ja, wobei die Argumentatation auch hier eine gewisse Schwäche aufzeigt, auf die ich anderer Stelle (und auch Reksilat im Zusammenhang mit deiner Erwähnung von Feit-Thompson) schon hingewiesen hatte: Du siehst oft das Einfache nicht und neigst etwas dazu, "mit Kanonen auf Spatzen" zu schiessen... Augenzwinkern

Ich würde z.B. nicht im Traum auf die Idee kommen, so zu argumentieren

Zitat:

obwohl es natürlich nicht falsch ist... Ich würde einfach sagen, wenn die Gruppe G nichtabelsch ist, dann

$\begin{eqnarray*} \exists a,b \in G : ab \ne ba \end{eqnarray*}$

d.h., der durch b induzierte innere Automorphismus

$\begin{eqnarray*} \iota_b: G \to G \text{ mit } x \mapsto bxb^{-1} \end{eqnarray*}$

ist dann $\begin{eqnarray*} \ne id_G \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \iota_b(a) \ne a \end{eqnarray*}$ ...

08.04.2011, 10:35

tigerbine

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Da kann man nur sagen: Vorsicht, wenn ich bewaffnet bin. Big Laugh

Solange ich mit der Kanone noch das Ziel treffe und nicht wie Münchhausen auf der Kugel fliege... geht es ja noch. Augenzwinkern

Aber klar, dein Weg ist viel einfacher. Freude

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