Quersummenproblem

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Der Graph Auf diesen Beitrag antworten »
Quersummenproblem
Meine Frage:
Hallo, folgender Gedanke:
Eine Tabelle mit vier beliebigen Zahlen oben und weiteren vier beliebigen unten.
Jetzt wird der erste Wert oben durch den ersten unten geteilt und das Ergebnis notiert. Das wird mit den restlichen drei Wertepaaren wiederholt.
Nun gibt es vier Ergebnisse, die zusammengefasst und durch ihre Anzahl, also vier, geteilt werden. Dieser Wert ist wichtig.
Jetzt Ansatz #2:
Die oberen vier Ausgangszahlen werden aufsummiert, genau so die unteren vier.
Die Gesamtwerte werden wie gehabt verrechnet und das Ergebnis vergleiche ich mit dem Ergebnis der ersten Rechenmethode.
Es gibt eine Abweichung. Wie kommt diese Abweichung zustande?

Meine Ideen:
Möglicherweise Rundungsfehler, vielleicht weil ich durch den Faktor vier teile, es ist mir ein Rätsel, welche Rechenart die korrekten Werte ausgibt. Zumal bei großen Zahlen die Abweichung auch größer wird.
k.kulach Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Der Graph,

verstehe ich dich richtig?
Du hast eine Tabelle mit folgenden Werten (habe ich mir ausgedacht):

12 35 4 8 (Zeile A)
6 5 2 16 (Zeile B)

Methode 1:
( (12:5) + (35:5) + (4:2) + (8:16) ) : 4 = 11,5

Methode 2:
( (12+35+4+8) : (6+5+2+16) ) : 4 = 59/116

Stellen wir das ganze als Funktion auf:

Methode 1:
(A1:B1) + (A2:B2) + (A3:B3) + (A4:B4) : 4

Methode 2:
( (A1+A2+B3+B4) : (B1+B2+B3+B4) ) : 4

Oder verstehe ich dich falsch?
Du kannst bei Additionen und Multiplikationen die Summanden bzw. Faktoren beliebig vertauschen (Kommutativ), aber die Funktion so umzustellen kann nicht gehen ;-)
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht noch eine kleine Ergänzung von meiner Seite zu dem, was mein Vorredner schon ganz richtig bemerkt hat...

Wenn man irgendein Phänomen studiert, so sollte man prinzipiell bemüht sein ein möglichst einfaches Beispiel zu finden, um einerseits die Untersuchung leichter zu machen und andererseits störende Einflüsse nach Möglichkeit fernzuhalten... In diesem Sinne sollte man

1. im Sinne einer Vereinfachung deine Tabelle nicht 4, sondern nur 2 Einträge enthalten (1 Eintrag wäre natürlich zuwenig!)
2. im Sinne einer Weglassung von ev. störenden Einflüssen die Division durch die Anzahl der Tabelleneintraäge gänzlich unterbleiben

Damit hat man dann das Problem in seiner ureigensten Form... Du wunderst dich, dass i.allg. gilt



Die meisten Leute (mich eingeschlossen) würden sich aber jetzt eher darüber wundern, warum eine Rechenregel wie



überhaupt gelten sollte...Es gibt keinen vernünftigen Grund dafür...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Mystic

In der Eile ist dir wohl die vom Threadersteller einbezogene "Anzahlnormierung" durch die Lappen gerutscht: Daher meinst du sicher

Zitat:
Original von Mystic
Du wunderst dich, dass i.allg. gilt


Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

@Hal9000

Ja, ich sehe gerade, dass mir da einiges durcheinandergekommen ist... Ich habe mich an dem Zahlenbeispiel orientiert, dass k.kulach gegeben hatte ohne jetzt genauer zu überprüfen, ob das die Intentionen des Threaderstellers korrekt wiedergibt (ich hab dabei auch einen offensichtlichen Tippfehler in rot korrigiert)

Zitat:

Methode 1:
( (12:6) + (35:5) + (4:2) + (8:16) ) : 4 = 11,5

Methode 2:
( (12+35+4+8) : (6+5+2+16) ) : 4 = 59/116


So wie das hier steht, könnte man glauben, dass man die beiden hervorgehobenen 4 ersatzlos streichen kann, ohne was zu ändern, allerdings stimmen die Resultate dann nur, wenn man die 4 in der Methode 1 streicht... Dein Vorschlag, auf dieses Beispiel umgemünzt, war aber die 4 in Methode 2 zu streichen...

Wäre schön, wenn sich der Threadersteller noch einmal melden würde, um an einem kleinen Zahlenbeispiel (einer Tabelle mit nur 2 Spalten!) vorzurechnen, was er eigentlich gemeint hat, insbesondere mit dem kryptischen Kürzel "wie gehabt verrechnet" im Ansatz #2...
Der Graph Auf diesen Beitrag antworten »
Aufsummiert
Guten Morgen, danke euch allen für die Antworten.
Also mir ging es einfach darum, dass ich Produktivitäten ermitteln möchte.
Für den Wert einer Produktivität brauche ich produzierte Güter im Zähler und Produktionsfaktoren im Nenner.

Einfach gesprochen habe ich auf zwei Arten gerechnet.
Einmal habe ich, wie auch schon von dem Herrn Kulach zusammen gefasst, die (in meinem Beispiel nunmal vier) Werte der Quotienten aufsummiert und durch ihre Anzahl geteilt.
Das ergibt einen Wert 1

Dann habe ich alle Zähler sowie alle Nenner jeweils zusammen addiert und einen gemeinsamen Quotienten gebildet.
Siehe da, Wert Nummer 2!

Aber inzwischen habe ich eine Antwort bekommen, es soll daran liegen, dass ich kein gewichtetes Mittel genommen habe, dann wurde mir das Beispiel mit einem Schiff genannt, welches für 10 km gegen den Strom 1 h braucht, mit dem Strom über die gleiche Strecke aber nur eine halbe. Der Durchschnitt ist dann nciht 15 km/h sondern 13,33.
Lange Erklärung aber ich habe meine Antwort.

Vielen Dank euch!
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Aufsummiert
Zitat:
Original von Der Graph
Aber inzwischen habe ich eine Antwort bekommen, es soll daran liegen, dass ich kein gewichtetes Mittel genommen habe, dann wurde mir das Beispiel mit einem Schiff genannt, welches für 10 km gegen den Strom 1 h braucht, mit dem Strom über die gleiche Strecke aber nur eine halbe. Der Durchschnitt ist dann nciht 15 km/h sondern 13,33.
Lange Erklärung aber ich habe meine Antwort.

Ich verstehe zwar nur Bahnhof und zur Klärung der oben angesprochenen Fragen hast du auch nicht wirklich beigetragen (insbesondere ist nicht klar, was genau du hier unter einem "gemeinsamen Quotienten" verstehst), aber wenn für dich die Sache inzwischen geklärt ist, dann ist ja alles gut... Wink
Der Graph Auf diesen Beitrag antworten »
Fragezeichen
Hallo Mystic.

Bahnhof, so geht's mir eigentlich immer, wenn die Mathematik meine einfachen Oberstufenkenntnisse hinter sich lässt.
Ich versuche es mal klarer zu machen:

Meine Probleme waren folgende

1.
Ich habe vier Quotienten gebildet aus vier Wertepaaren(Brüchen).
Also beispielhaft 200/3 ; 250/7 ; 320/6 ; 300/9
und da bekomme ich diese vier Quotienten:
66,33 ; 35,7 ; 53,33 ; 33,33
Um nun einen Durchschnitt zu ermitteln, das wollte ich ja erreichen, habe ich diese vier aufaddiert und durch ihre Anzahl, also vier, geteilt. Das ergibt: 47,17

Jetzt habe ich eine zweite Methode benutzt, um den Durchschnitt zu errechnen:
(200+250+320+300)/(3+7+6+9) und das ergibt: 42,8

Mir war es ein Rätsel, wieso Wert #1 47,17 und Wert #2 42,8 nicht identisch sind.
Mit der Quersumme hat das Ganze nichts zu tun, das ist mir klar und ich entschuldige mich, falls das jetzt für jemanden irreführend war.
Und jetzt kommt der Mathe-Besessene, der mir das Problem aufgeführt und erläutert hat und bringt mir folgendes Beispiel:
Ich hätte die Quotienten auf den gleichen Nenner bringen sollen, Stichwort gewichtetes Mittel.
Ein Schiff fährt also gegen den Strom des Flusses in einer Stunde die 10 km und mit dem Strom nur eine halbe Stunde. Somit fährt das Schiff einmal 10 km/h und einmal 20 km/h.
Laut meiner Rechnung müsste die durchschnittliche Geschwindigkeit also 15 km/h sein, (10+20) /2. Aber das ist falsch, denn (10 km + 10 km)/(1+0,5)= 20/1,5 = 13,33.

Ich hoffe, jetzt konnte ich einiges klarer machen, mich hat das stundenlang verwirrt, und das, obwohl ich einen Profi zur Hand hatte, um es mir deutlich zu machen.

Schöne Grüße !
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Der Graph
Mir war es ein Rätsel, wieso Wert #1 47,17 und Wert #2 42,8 nicht identisch sind.

Ich denke, soweit war das allen hier schon klar. Was uns ein Rätsel war, wie du annehmen kannst, dass diese beiden Werte gleich sein sollen. Das sind sie eben i.a. nicht, wie du an genau deinem Beispiel sehen kannst.

In ausgesprochenen Sonderfällen, z.B.
- alle Einzelquotienten sind gleich, oder
- alle Nenner sind gleich
liefern beide Verfahren tatsächlich dieselben Werte. Aber das sind eben nur Ausnahmefälle.
Der Graph Auf diesen Beitrag antworten »
Gleiche Werte
Hallo Herr Gruber,
nur kurz, um das klar zu stellen.
Dass zwei unterschiedliche Zahlen unterschiedlich sind, jetzt mal ernsthaft, brauchen wir hier nicht zu diskutieren, machen Sie sich jetzt über mich lustig?
Ich konnte mir lediglich nicht erklären, wieso, aus welchem Grund diese beiden Werte unterschiedlich sind und deshalb habe ich dieses Forum um Rat gebeten.
Was tun Sie denn, wenn Ihnen etwas unerklärlich erscheint?
Ich für meinen Teil stelle eine Frage und hoffe auf eine erklärende Antwort.
Mir ist es eher ein Rätsel, wie Sie annehmen können, ich bräuchte die Bestätigung dass zwei unterschiedliche Zahlen nicht gleich sind.
Wie man da hin kommt, das heißt, die Zahlen berechnet, und welcher Rechnungsweg der richtige für ein verlässliches Ergebnis ist, das hätten Sie mir vielleicht erläutern sollen.

Einen schönen Tag.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Der Graph
Dass zwei unterschiedliche Zahlen unterschiedlich sind, jetzt mal ernsthaft, brauchen wir hier nicht zu diskutieren, machen Sie sich jetzt über mich lustig?

Ziemlich dünnhäutig. unglücklich

Es ist eben für viele Leute schwer verständlich, woher der Glaube kommt, dass zwei unterschiedliche Formeln - die sich nicht ineinander überführen lassen - immer denselben Wert ergeben sollen, und zwar für alle möglichen Kombinationen der Ausgangsgrößen. Tut mir leid, wenn ich mit dieser unsensiblen Ausdrucksweise Ihre Gefühle verletze, aber ich bringe halt gern die Dinge auf den Punkt.

Ich betone nochmal, ich stelle NICHT in Frage, dass Sie die Gleichheit/Ungleichheit zweier Zahlen nicht erkennen können, sondern die Gleichheit/Ungleichheit zweier Formeln (bzw. nennen Sie es Berechnungsweisen oder wie sie wollen).
Der Graph Auf diesen Beitrag antworten »

Vermutlich haben Sie Recht, es ist Montag und ich bin etwas gereizt, das hat mit Ihnen nichts zu tun, Herr Gruber.
Was das Erkennen der Ungleichheit mehrerer Formeln angeht, so haben Sie absolut Recht in bezug auf diese beiden. Erst nach langer Erklärung haben ich verstanden, wo mein Denkfehler lag.

So, jetzt ab in die Arbeit, sonst wird der Tag nur noch nervtötender.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleiche Werte
Zitat:
Original von Der Graph
Wie man da hin kommt, das heißt, die Zahlen berechnet, und welcher Rechnungsweg der richtige für ein verlässliches Ergebnis ist, das hätten Sie mir vielleicht erläutern sollen.

Schde dass die bislang sachliche, wenn vielleicht auch etwas unergiebige Diskussion nun eine solceh Wendung nimmt... unglücklich Was mich selber betrifft, so war mir ja bis jetzt noch gar nicht klar, um welche Gleichung es hier überhaupt geht... Dieser Punkt ist jetzt wenigstens mal geklärt und ich darf wie folgt zusammenfassen:

1. k.kulach lag mit seinem Beispiel daneben...
2. Ich lag mit meiner Interpretation ebenfalls daneben...
3. HAL 9000 hatte mit seiner Interpretation der Aufgabe recht...

Worum geht es bei der ganzen Sache eigentlich? Es geht kurz darum, ob ich den Mittelwert aus Quotienten so berechnen darf, indem ich einfach den Quotienten aus dem Mittelwert der Dividenden und dem Mittelwert der Divisoren bilde... Noch kürzer: Sind Quotientenbildung und Mittelwertbildung vertauschbar?

Betrachten wir nochmals den einfachsten und nun richtiggestellten Fall von 2 Quotienten, wo dann die Frage lautet, ob die Gleichung



für beliebige erfüllt ist... Durch Einsetzen von einfachen Zahlenwerten sieht man sofort, dass dies i.d.R. falsch ist... Ich vermute sogar, dass dies überhaupt nur dann zutrifft, wenn a=c und b=d ist, habe mir das aber jetzt nicht im Detail überlegt...

Die richtige Frage ist hier jedenfalls nicht: Warum gilt diese Gleichung nicht allgemein? Die richtige Frage ist eigentlich: Warum sollte diese Gleichung überhaupt gelten? verwirrt
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleiche Werte
Zitat:
Original von Mystic
Ich vermute sogar, dass dies überhaupt nur dann zutrifft, wenn a=c und b=d ist, habe mir das aber jetzt nicht im Detail überlegt...

Dazu hatte ich ja einiges gesagt (der Fragesteller ist in seiner Erregung leider nicht bis dahin gelangt):

Zitat:
Original von René Gruber
In ausgesprochenen Sonderfällen, z.B.
- alle Einzelquotienten sind gleich, oder
- alle Nenner sind gleich
liefern beide Verfahren tatsächlich dieselben Werte.

Im Fall sind das wohl die einzigen Ausnahmefälle, für wird es wohl auch weitere geben.


Zitat:
Original von Mystic
Die richtige Frage ist eigentlich: Warum sollte diese Gleichung überhaupt gelten? verwirrt

Darum kreist das ganze - oder sagen wir besser: kreisst smile
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