Winkel und Vektor gegeben, zweiter Vektor mit bestimmten Winkel gesucht |
08.04.2011, 11:55 | bauhaushali | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Winkel und Vektor gegeben, zweiter Vektor mit bestimmten Winkel gesucht Hallo, Zu einem gegeben Vektor in R3 einen Vektor mit passendem Winkel finden, geht das irgendwie schneller als mein Ansatz? Bzw. rechne ich dort überhaupt das richtige? Grüße Meine Ideen: gesucht ist ein Vektor v mit Winkel zwischen u und v gleich 30° |
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08.04.2011, 13:36 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Winkel und Vektor gegeben, zweiter Vektor mit bestimmten Winkel gesucht Meinst du wirklich den ? Dein Vektor (3,-1) stammt aus dem , das verwirrt mich ein wenig.... Im folgenden rechnest du auch im zweidimensionalen. Im existieren auch unendlich viele Vektroen, die die Eigenschaft erfüllen, einen Winkel von 30° mit einem beliebigen Vektor einzuschließen..... Desweiteren scheinst du anzunehmen, dass dein gesuchter Vektor einen Betrag von 1 hat, was aber deiner Lösung wiederspricht. Poste die Aufgabe doch einmal wortwörtlich so, wie du sie bekommen hast |
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08.04.2011, 13:41 | bauhaushali | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Winkel und Vektor gegeben, zweiter Vektor mit bestimmten Winkel gesucht Hey, jap ich meine R2, mein Fehler. Die Aufgabe sagt es ist Vektor u=(3,-1) und v=(6,3) gegeben. Ich soll "einen Vektor w mit Betrag 1 angeben, so dass der Winkel zwischen w und u 30° ist" |
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08.04.2011, 14:17 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Winkel und Vektor gegeben, zweiter Vektor mit bestimmten Winkel gesucht Sei dein Vektor w (x,y), wenn er zu u einen Winkel von 30° einschließt, welchen Winkel schließt er dann zu v ein? Das liefert dir doch zwei Bedingungen. |
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08.04.2011, 14:24 | bauhaushali | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also es geht nur um die Vektoren U und W. U ist mir gegeben (3,-1) und W soll ich errechnen, dabei sind die Bedingungen dass U und W einen Winkel von 30° bilden und W den Betrag 1 hat. Bin mir gerade nicht sicher ob ich die verwirrt habe, hoffe es ist jetzt klar wie ich das meine Ich weiß nicht was für einen Winkel U zu V einschließt, das ist glaube ich auch nicht wichtig für die Lösung, da wir uns nur mit U und W beschäftigen. (Wenn das jetzt nicht so ist dann hab ich wohl meinen Fehler gefunden?!) |
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08.04.2011, 14:36 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
der vektor v ist völlig belanglos damit kommst du ans ziel (1) aus dem skalarprodukt (2) aus der normierung fehler vorbehalten |
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08.04.2011, 14:38 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist mir klar, dass du einen Vektor bestimmen sollst, der einen Winkel von 30° mit u einschließt. Wenn man allerdings weiß, welchen Winkel u und v einschließen, dann weiß man auch, welchen Winkel w und v einschließen. Der Winkel w besteht aus zwei Unbekannten, nämlich x und y. Wenn man nun zwei Bedingungen formuliert, nömlich die Bedingungen, dass u und w einen Winkel von 30° einschließen und u und v dementsprechend einen Winkel von ?? Grad, dann bekommt man ein LGS mit zwei Unbekannten und zwei Gleichungen, welches dann eindeutig lösbar ist. Also, welchen Winkel schließen u und v ein? Welchen Winkel schließt also v mit w ein? Wie lauten deine beiden Gleichungen? Edit:@riwe: Man kann auch ein LGS formulieren wie oben beschrieben, sollte auch zum Ziel führen. |
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08.04.2011, 15:04 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich fürchte, das ist eine "tautologie" |
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08.04.2011, 16:09 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe dir meinen Ansatz per PN geschickt, kannst dir ja selbst ein Bild machen. |
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09.04.2011, 12:01 | bauhaushali | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, also die beiden Gleichungen die riwe aufgestellt hat leuchten ein, eine ergibt sich direkt aus meiner Bedingung: Die andere Bedingung ist für die Norm von 1 die wir von w fordern. Nun würde ich erstmal machen, ich habe ja zwei Unbekannte und eine Gleichung, die Normierung nehme ich erst zum Schluss vor oder? Der Ansatz mit den Winkel würde mich auch interessieren, seh da immer noch keine Möglichkeit. Danke schonmal für eure tollen Tipps! |
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09.04.2011, 13:10 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast zwei Gleichungen und zwei Unbekannte, wenn du den Lösungsweg von Riwe gehen möchtest (bei meinem dann auch, aber dazu später). Löse dazu eine der Gleichungen nach einer Variabel auf und setze diese in die andere ein, das Ergebnis ist ein normierter Vektor. Such dir erst einmal einen Lösungsweg aus, den wir dann richtig gehen, den anderen kann man dir dann zum Schluss vormachen. Wir haben die beiden Gleichungen: Nun kannst du die erste nach y auflöen und in die zweite einsetzen. Warum du immer eine Koordinate als gegeben annimmst ist mir nicht ganz klar, wenn w_x=1 ist, so muss w_y=0 sein, die Bedingung, dass der Vektor normiert vorliegt wurde zwei mal benutzt, einmal als Gleichung 2 und einmal, dass im Nenner nur der Betrag von u steht und der Betrag von v als 1 angenommen wird, das Ergebnis ist also ein normierter Vektor. |
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09.04.2011, 15:58 | bauhaushali | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke! Nun ist mir das klar, die doppelte Normierung ist natürlich quatsch, ich habe das jetzt mal so gemacht und komme auf meine Vektor 1: 2: Auflösen von 2 nach wy Einsetzen in die 1 Der Winkel passt und er ist tatsächlich normiert! Also nochmal danke, das war jetzt eigentlich nicht so schwierig und ihr helft mir trotzdem! Alternativer Ansatz: |
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09.04.2011, 16:47 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jap, das passt nun. Nun stelle ich dir meinen Ansatz vor: Die Vektoren u und v schließen einen Winkel von 45° ein, gesucht ist also ein Vektor, der mit u einen Winkel von 30° einschließt und mit v einen Winkel von 75°. Das liefert das LGS: . Nun multipliziert man entsprechend und kommt auf das LGS: Addieren der ersten Gleichung zur zweiten und auflösen nach y liefert: Entsprechende Vereinfachung liefert dann das gewünschte Ergebnis, es kommt das gleiche heraus. Alternativ kann man auch sagen, dass der Vektor w einen Winkel von 30° mit u einschließt und einen Winkel von 15° mit v. Liefert dir dann einen anderen Vektor, aber es gibt eh zwei mögliche Ergebnisse. |
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09.04.2011, 17:47 | riwe | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wobei der "klassische" ansatz beide lösungen liefert |
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09.04.2011, 17:50 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und das ist sicherlich auch der Vorteil an deiner Lösungsidee, da aber nur ein Vektor gesucht ist, ist es für die Lösung der Aufgabe unerheblich. Ich hatte halt die Lösung als erstes im Kopf und habe ehrlich gesagt gar nicht darüber nachgedacht, dass man die Norm des Vektors als zweite Bedingung benutzen könnte. |
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