Welche Verteilung liegt vor?

09.04.2011, 03:43

Bernadette

Welche Verteilung liegt vor?

Hallo,

ich arbeite gerade an folgender Aufgabe:

Eine Urne enthaelt 10 rote, 8 blaube und 7 gelbe Kugeln. Es werden nun ohne Zuruecklegen Kugeln gezogen bis man genau 5 rote Kugeln hat.

1. Wie ist die Anzahl der gezogenen blauen und gelben Kugeln verteilt?
1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man auch genau 2 blaue und 2 gelbe Kugeln gezogen hat
2. mindestens 2 blaue und 2 gelbe

Sieht so aus als waere hier von allem ein bisschen dabei. Es ist offensichtlich eine "entartete" hypergeometrische Verteilung aber zur gleicen Zeit hat es auch etwas von der Negativen Multinomial Verteilung. Wie nennt man das nun? Ich finde dazu nichts gescheites im Internet. Habe auch so erst mal keine Idee das effizient zu berechnen. verwirrt

12.04.2011, 22:29

Bernadette

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Hat keiner eine Idee?

17.04.2011, 23:40

ztzt

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Hallo,
ich kann Dir nur die antwort zu 1a
"Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man auch genau 2 blaue und 2 gelbe Kugeln gezogen hat" geben.
1.Nummerieren wir alle Kugeln durch und ziehen alle 25 Kugeln eine nach anderer - haben isgesamt 25! mögliche Ketten je aus 25 Kugeln, alle mit gleicher wahrscheinlichkeit.
2.Wie viel davon passen zu 1a?
2a) auf dem platz 9 muss eine Rote kugel stehen - es gibt C(10, 1)=10 Möglichkeiten aus 10 roten nur eine Kugel, die dann platz 9 aufnimmt, auszuwählen.
2b) auf den ersten 8 plätzen stehen 4 rot, 2Blaum 2Gelb = es gibt
C(9,4)*C(8,2)*C(7,2)=(9!/4!/5!)*(8!/2!/6!)*(7!/2!/5!) Möglichkeiten die kugeln auszuwählen.
Es steht da C(9,4) weil eine rote kugel wurde schon im punkt 2a) ausgewählt.
2c) Die ausgewählten 8 kugeln müssen die plätzte 1-8 belegen - es gibt 8! Möglichkeiten es zu tun
2d) Restliche 16 Plätze No10-25 können auch beliebig belegt werden -> 16! möglichkeiten.
Antwort: W=10*(9!/4!/5!)*(8!/2!/6!)*(7!/2!/5!)*8!*16!/25!

18.04.2011, 02:28

Zellerli

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Ist für die Verteilung wirklich der Name wichtig und es reicht nicht, die Formel aufzustellen für (Sei X die Anzahl der nicht-roten gezogenen Kugeln) $\begin{eqnarray*} P(X=k) \end{eqnarray*}$ ?

19.04.2011, 04:56

Bernadette

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Der Name ist natuerlich unwichtig, die Funktion interessiert mich... Ich denke mir dann schon einen Namen dafuer aus Augenzwinkern

19.04.2011, 07:50

René Gruber

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Eigentlich recht einfach, wenn man alles ruhig zusammenträgt, erstmal ein paar Benennungen:

$\begin{eqnarray*} r,b,g \end{eqnarray*}$ ... Anfangsanzahlen der roten, blauen und gelben Kugeln (hier r=10,b=8,g=7)

$\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ ... Limitanzahl gezogener roter Kugeln, bei der die Ziehung beendet wird (hier l=5)

$\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ... zufällige Anzahl der zu ziehenden Kugeln bis einschließlich der $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ -ten roten Kugel

$\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ... zufällige Anzahl blauer Kugeln unter den $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gezogenen Kugeln

$\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ... zufällige Anzahl gelber Kugeln unter den $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gezogenen Kugeln

Klar ist der fixe Zusammenhang $\begin{eqnarray*} N = l+B+G \end{eqnarray*}$ .

1.Zur Verteilung von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ : Es ist $\begin{eqnarray*} N=n \end{eqnarray*}$ , falls nach $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ gezogenen Kugeln genau $\begin{eqnarray*} l-1 \end{eqnarray*}$ rote Kugeln gezogen wurden UND die n-te gezogene Kugel ebenfalls rot ist, demnach

$\begin{eqnarray*} P(N=n) = \frac{\binom{r}{l-1}\cdot \binom{b+g}{n-l}}{\binom{r+b+g}{n-1}} \cdot \frac{r-l+1}{r+b+g-n+1} \end{eqnarray*}$

2.Zur bedingten Verteilung von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ unter der Bedingung $\begin{eqnarray*} N=n \end{eqnarray*}$ : Die ist direkt hypergeometrisch

$\begin{eqnarray*} P(B=k \bigm| N=n) = \frac{\binom{b}{k} \cdot \binom{g}{n-l-k}}{\binom{b+g}{n-l}} \end{eqnarray*}$

3.Zur Verteilung von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ : Totale Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(B=k) = \sum\limits_{n=l}^{l+b+g} P(B=k \bigm| N=n)\cdot P(N=n) \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man noch einsetzen und versuchen zu vereinfachen - weiß jetzt nicht, ob in der Hinsicht da was zu machen ist.

EDIT: Ach ja, zur gemeinsamen Verteilung von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , die ergibt sich gemäß

$\begin{eqnarray*} P(B=k,G=j) = P(B=k,N=l+B+G=l+k+j) = P(B=k|N=l+k+j)\cdot P(N=l+k+j) \end{eqnarray*}$

auch aus den obigen Formeln.

19.04.2011, 16:31

Zellerli

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Nanana, keine Komplettlösungen! (hier macht es allerdings - wie sehr oft in der Stochastik - Sinn lieber anhand einer Formel die Bestandteile zu erläutern, statt ein Modell aufzuziehen und dann noch die Formel dazu zu basteln)
Aber Respekt, sauber aufgestellt.

Aber eins hab ich noch:
Ich hätte es mir einfacher gemacht und die Frage anders interpretiert:

Die Aussage

Zitat:

die Anzahl der gezogenen blauen und gelben Kugeln

Hätte ich so aufgelöst: die Anzahl der gezogenen [blauen und gelben]=[nicht-roten] Kugeln.
Man kann aber, wie René, auch so auflösen: die Anzahl der gezogenen blauen und die Anzahl der gezogenen gelben Kugeln.

Das würde quasi Schritt 2. und 3. und die gemeinsame Verteilung, also auch Zeit einsparen (und damit eine Menge Punkte - wenn der Aufgabensteller auf der komplexeren Interpretation beharrt).

Gibt es einen Hinweis in der Formulierung, dass eine der Interpretationen falsch ist?

19.04.2011, 17:53

René Gruber

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Zitat:

Original von Zellerli
Hätte ich so aufgelöst: die Anzahl der gezogenen [blauen und gelben]=[nicht-roten] Kugeln.

Du bist auch so einer, der im Baumarkt die Stecker abschneidet, was? Augenzwinkern

Jedenfalls erledigt sich diese spitzfindige Interpretation bei Betrachtung der weiteren Teilaufgaben

Zitat:

Original von Bernadette
1. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass man auch genau 2 blaue und 2 gelbe Kugeln gezogen hat
2. mindestens 2 blaue und 2 gelbe

Was die Komplettlösung betrifft: Kannst du gern löschen, aber ich gehe davon aus, dass Bernadette keine "Lösungsschnorrerin" ist - zumindest wenn es sich um dieselbe Bernadette wie hier handelt.

19.04.2011, 22:27

Zellerli

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Hey!
Wenn da auf alles ohne Stecker steht. Hallohoooo?!

Big Laugh

Ja, für die weiteren Teilaufgaben muss man dann doch unterscheiden. Aber ich finde es wieder einmal schade, dass die Aufgabenstellung nicht eindeutig ist. Das passiert vor allem in der Stochastik immer wieder...

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