orthogonale Projektion

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Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »
orthogonale Projektion
Seien U und V Unterräume eines euklidischen oder unitären Vetorraums W und seien und die orthogonalen Projektionen auf U und auf V.
Ich soll nun zeigen:
genau dann, wenn .
Wenn ich ja solche Beweise führen muss, gibt es ja jeweils immer beide Richtungen zu zeigen.
, wobei
Hilft mir das irgendwie weiter?
Wäre froh um einen Tipp, vielen Dank schon im Voraus!!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Woher weisst du, dass U+V eine direkte Summe ist ???

Besser, du beschäftigst dich mit den Eigenschaften einer orthogonalen Projektion. Siehe z.B. hier : http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale...nale_Projektion
Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank.
Stimmt. Die direkte Summe, war irgendwie Schwachsinn...
Aber nun zu deiner Idee:
Es gilt:


sowie



Was nun? Wie kann ich mittels der auf Wikipedia angegebenen Formel darauf schliessen, dass natürlich ist . Aber das sagt ja noch nichts aus.
Jetzt müsste ich zeigen, dass auch in V liegt, denn 0 ist ja das einzige Element, dass U und V teilen.
Nur wie zeig ich das?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: Fang doch mal mit einer Voraussetzung an, und leite daraus die gewünschte Aussage her. Für die Umkehrung gilt das ebenso.

Sei
...
Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ok.
Ich beginne mit der Voraussetzung
Aber wäre es nicht viel eifacher unter dieser Voraussetzung zu zeigen, dass sowie . Da ja und damit
Dass ist ja klar, denn es wird ja auf U projeziert. Es bliebe dann nur noch zu zeigen, dass , was ja intuitiv klar ist, denn U und V schneiden sich nur im Nullpunkt und wenn zuerst auf V projeziert wird, dann kann anschliessend nur auf den Nullpunkt projeziert werden. Ich weiss einfach nicht recht, wie ich es aufschreiben soll...
Anstatt mit:
Zitat:
Damit kann ich doch gar nichts mehr anstellen, oder? Ich weiss ja gar nicht wie die Projektion definiert ist.


Noch zur anderen Richtung "":
Die ist wohl etwas schwieriger. Man kann ja nciht allgemein sagen:
Sei und , dass dann: gilt. Was kann ich tun?


Sorry, dass ich so lästig bin Augenzwinkern
Wombat91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich hab' noch eine Idee gekriegt für die Gegenrichtiung:
Es gilt ja sowie
Da aber die Voraussetzung gilt:
Gilt: sowie für alle w.
Damit . q.e.d.
Stimmt das so?
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Kann nicht stimmen. Gegenbeispiel x-Achse, y-Achse. Da ist nicht senkrecht zu U und nicht senkrecht zu V.

Zur anderen Richtung: Mit dem Skalarprodukt kann man weiterrechnen, weil Projektionen u.a. lineare Abbildungen sind.
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