Fragen zu linearem Gleichungssystem

04.12.2006, 22:58

muemmel_0811

Fragen zu linearem Gleichungssystem

Hallo zusammen,

bin hier schon länger als lesender Gast unterwegs (mir wurde damit schon viel geholfen), aber nun bräuchte ich doch mal Eure Hilfe.

Ich habe folgendes lineare Gleichungssystem gegeben: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die dazugehörige erweiterte Koeffizientenmatrix lautet ja dann so: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 | & 1 \\ 1 & -1 & 3 | & 1\\ 0 & 2 & -4 | & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die Treppennormalform dieser erweiterten Koeffizientenmatrix bilde, erhalte ich folgende Matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 | \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & -2 | -\frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 0 | \frac{5}{6}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Laut Musterlösung ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix größer, als der Rang der Koeffizientenmatrix - aber warum - ich dachte bis jetzt eigentlich immer, dass der Rang nur von dem linken Teil der erweiterten Koeffizientenmatrix beeinflusst wird - oder hab ich etwas grundsätzliches übersehen?
Und daraus folgt, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat - diese Aussage hab ich verstanden, allerdings hat sie mit meiner nächsten Frage zu tun:
Und zwar war mein Lösungsansatz bei dieser Aufgabe der Weg über die Determinante der Koeffizientenmatrix und die ist ja in diesem Fall = 6 und damit gibt es doch eigentlich eine Lösung für dieses Gleichungssystem und von daher versteh ich ehrlich gesagt gerade gar nichts mehr verwirrt

Es wäre echt nett von Euch, wenn jemand die Lust und Geduld hätte, mir auf die Sprünge zu helfen.

04.12.2006, 23:43

tigerbine

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RE: Fragen zu linearem Gleichungssystem
Hallo,

Du suchst die Lsöung des Gleichungssystems Ax = b. Dabei gilt es 3 Fälle zu untersuchen:

- es existiert eine eindeutige Lösung <-> A ist regulär
- Es gibt keine Lösung, dann liegt b nicht in der Bildmenge von A, d.h. es läßt sich nicht als Linearkombination der Spaltenvektoren von A darstellen (woran erinnert diese Formuliereng? Lineare Unabhängigkeit)
- Es gibt unendlich viele Lösungen

Wenn man nur die Matrix A untersucht, gilt:

regulär: zu jedem b gibt es eindeutig ein x mit Ax = b

Wenn A singulär ist, müssen wir unterscheiden:

Liegt B in der Bildmenge von A?

nein- dann keine Lösung

ja - dann gibt es unendlich viele Lösungen

Irgendwas kann dann nicht stimmen, wenn die Det von A nicht Null ist, kann sie keine Nullzeile haben!

04.12.2006, 23:54

tigerbine

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RE: Fragen zu linearem Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -\frac{3}{2} & 3 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ -3 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

det(A) = 8 + 0 + 0 - 12 + 4 = 0

05.12.2006, 00:08

muemmel_0811

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Hallo tigerbine,

danke erstmal für Deine ausführliche Erklärung, und gleich ein dickes SORRY, denn ich hatte total vergessen zu schreiben, dass ich keine Lösung für dieses Gleichungssystem suche, denn die Aufgabenstellung ist eine ganz andere, aber der Lösungsweg geht eben über die Lösbarkeit dieses linearen Gleichungssystems.

Und ich Dummerchen hab gerade gesehen, dass ich zu blöd zum abschreiben bin, denn ich hab da eine Matrix am Zettel stehen, deren Determinante wirklich 6 ist, denn ich hab bei (3,2) eine 1 anstelle einer 2 stehen. Somit hat sich die Geschichte mit der Determinante erledigt.

Allerdings bleibt meine Frage zu den Rängen der Koeffizienten- bzw. erweiterten Koeffizientenmatrix bestehen, denn ich möchte die angegebene Treppennormalform (= Musterlösung meiner Profs) ehrlich gesagt nicht anzweifeln.
Also nochmal, warum ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix größer, als der Rang der Koeffizientenmatrix?

05.12.2006, 00:15

tigerbine

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Ich zweifel die Treppenform nicht an, mehrere Matrizen mit zugehörigem b können durchaus das gleiche darstellen. Ich hab's eben auf meine Art gerechnet. BTW machen auf Prof Rechenfehler.

Ist das Jetzt das LGS von dem Du behauptest, dass A die Determinante 6 hat?

Ich habe folgendes lineare Gleichungssystem gegeben: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann rechne bitte mit Sarrus nach:

2(-1)(-4) + 1*3*0 + 0*1*2 - 0*(-1)*0 - 2*3*2 - (-4)*1*1 =
+8 + 0 + 0 - 0 - 12 + 4 = 0

Also ist A singulär, mit der Treppenform und der Gestalt von b folgt dann, das das LGS keine Lösung besitzt.

Du musst dich verrechnet und vertippt haben.

Die Sache mit den unterschiedlichen Rängen habe ich Dir im ersten Beitrag schon erklärt. Wenn sich der Vektor b nicht aus den Spalten von A linear kombinieren läßt, dann ist der Rang der erw. Matrix größer als der von A.

GRuß

05.12.2006, 00:18

tigerbine

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UND HIER IST DOCH GANZ KLAR ZU ERKENNEN:

A hat eine NULLZEILE, der VEKTOR b ist aber an der dritten Position VON NUL VERSCHIEDEN.

Rang einer Matrix = Anzahl der linear unabhängigen Spalten = Anzahl der linear unabhängigen Zeilen

05.12.2006, 00:32

muemmel_0811

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die Matrix, für die ich bei der Determinante = 6 hab ist nicht die hier angegebene, aber die hier angegebene ist die, um die es geht - wie gesagt, ich bin zu blöd zum abschreiben...

Noch mal zu den Rängen: mein Wissen geht gerade mal bis dahin (bzw. ging bis zu Deiner letzten Erklärung), dass der Rang einer Matrix gleich der Anzahl ihrer Pivot-Positionen ist und da sehe ich bei beiden nur 2, aber anscheinend gibt es da wohl noch eine 3. in der erweiterten Koeffizientenmatrix - aber wo ist die? Oder geht hier die Theorie mit den Pivot-Positionen nicht?

05.12.2006, 00:38

tigerbine

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Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist nicht quadratisch. Deswegen musst du, da a_33 0 ist aber auch a_34 betrachten (also den erweiterten eintrag), und das ist von Null verschieden.

05.12.2006, 00:43

muemmel_0811

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nur damit auch ich's verstehe:
da a_34 von Null verschieden ist, könnte ich den ja auch zu einer 1 hinrechnen und a_14 und a_24 zu Nullen berechen und somit hätte ich meine 3. Pivot-Position?

05.12.2006, 00:49

tigerbine

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Ich verstehe niht was Du willst:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 | \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & -2 | -\frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 0 | \frac{5}{6}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Von mir aus kannt Du auch die letzte Zeile mit $\begin{eqnarray*} \frac{6}{5} \end{eqnarray*}$ multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 | \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & -2 | -\frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 0 | 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Argumentation bleibt gleich. Warum sollen die Werte darüber null sein? du hast doch auf eine obere Dreieckmatrix hingearbeitet

05.12.2006, 00:55

muemmel_0811

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mir geht es um die Pivot-Positionen - wir haben den Rang einer Matrix bisher nur über die Anzahl ihrer Pivot-Positionen ermittelt (andere Theorien sind bisher nicht gefallen) und da liegt einfach mein Verständnis-Problem, deshalb helfen mir momentan auch gut gemeinte und sicherlich völlig korrekte Ratschläge über lineare Unabhängigkeiten nix.

Also bitte nicht hauen: ist denn jetzt a_34 die 3. Pivot-Position oder nicht?

05.12.2006, 01:04

tigerbine

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Wenn Du es jetzt schon so speziell wissen willst, dann gib mir mal deine Definition von Pivot-Element.

05.12.2006, 01:16

muemmel_0811

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eine genaue Definition hab ich im Skript noch nie gefunden (bin Fernstudi)...
die Logik die sich aus dem bisherigen Inhalt ergeben hat war folgende:
jedes Element das gleich 1 ist und wo links in der Zeile der 1 und ober- und unterhalb dieser 1 in den Spalten Nullen stehen, ist eine Pivot-Position.

Gibt es vielleicht eine bessere universellere Definition, die Du mir auch verraten würdest?

05.12.2006, 12:28

derkoch

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RE: Fragen zu linearem Gleichungssystem

Zitat:

Original von muemmel_0811
Hallo zusammen,

bin hier schon länger als lesender Gast unterwegs (mir wurde damit schon viel geholfen), aber nun bräuchte ich doch mal Eure Hilfe.

Ich habe folgendes lineare Gleichungssystem gegeben: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die dazugehörige erweiterte Koeffizientenmatrix lautet ja dann so: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 | & 1 \\ 1 & -1 & 3 | & 1\\ 0 & 2 & -4 | & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun die Treppennormalform dieser erweiterten Koeffizientenmatrix bilde, erhalte ich folgende Matrix: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 | \frac{2}{3} \\ 0 & 1 & -2 | -\frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 0 | \frac{5}{6}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Laut Musterlösung ist der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix größer, als der Rang der Koeffizientenmatrix - aber warum

$\begin{eqnarray*} Rg(A) = 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Rg(A\mid c)=3 \end{eqnarray*}$

darum! smile

Zitat:

Original von muemmel_0811
Und zwar war mein Lösungsansatz bei dieser Aufgabe der Weg über die Determinante der Koeffizientenmatrix und die ist ja in diesem Fall = 6

sicher?

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -4 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix}-1& 3& \\ 2 & -4 \end{vmatrix} -1\begin{vmatrix} 1 & 0 & \\ 2& -4 & \end{vmatrix}=2(4-6)-1(-4)=2(-2)+4 =0 \end{eqnarray*}$

05.12.2006, 13:07

tigerbine

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RE: Fragen zu linearem Gleichungssystem
Schau mal bei wikipedia rein

http://de.wikipedia.org/wiki/Pivotelement

Und Gaußalgorithmus

Wie sollen wir denn sagen, was das Pivotelement ist, wenn Du nicht weist was ein Pivotelement ist

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