gleichung modulo

10.04.2011, 19:38

xxmaxx

gleichung modulo

Hi,

ich soll folgendes system in $\begin{eqnarray*} Z_{11} \end{eqnarray*}$ lösen:

x + 5y = 9
3x + 2y = 4

Leider kann ich nirgendwo beispiele dazu finden. Vl kann mir jemand die vorgehensweise anhand eines anderen beispiels erklären.

danke schonmal

10.04.2011, 19:48

tmo

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Wie würdest du das System denn in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ lösen? Da $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{11} \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, kannst du alle Möglichkeiten, die du kennst, einfach 1zu1 übernehmen. Nur dass du jede Rechnung eben in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{11} \end{eqnarray*}$ ausführen musst.

10.04.2011, 20:01

xxmaxx

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in R lösen. Hmm einfach auf x oder y bringen und dann einsetzten. aber wie ich das mit mod 11 machen soll is mir ein rätsel.

10.04.2011, 20:08

tmo

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Das wäre z.b. eine Methode. Wo ist dabei denn das Problem? Aus der ersten Gleichung folgt z.b. x=9-5y. Das dann einfach in die 2. einsetzen.

Du kannst aber auch einfach die erste Gleichung mit 3 multiplizieren und dann die zweite davon abziehen.

Du kannst sogar einfach die Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ invertieren (Es gibt ja eine ganz einfache Regel um 2x2-Matrizen zu invertieren) und dann via $\begin{eqnarray*} A^{-1}\begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ die Lösung bestimmen.

Ob man jetzt in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{11} \end{eqnarray*}$ ist, spielt eigentlich keine Rolle.

10.04.2011, 20:22

xxmaxx

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also einfach z.b x ausrechnen:

x+5y = 9 mod 11 => x = 2/13 mod 11

dann einsetzten:

2/13 + 5 * y = 9 mod 11 => y = 23/13

fertig

10.04.2011, 20:26

tmo

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Es ist zwar keineswegs ersichtlich, wie du da auf dein x kommst, aber wundersamerweise stimmen die Ergebnisse (wenn man sie noch auf den kanonischen Repräsentant umschreibt).

Du solltest dir mal bewusst machen, was 1/13 in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{11} \end{eqnarray*}$ denn überhaupt bedeutet. Zunächst ist 13=2, also sucht man eigentlich 1/2. Und das ist ja nichts anderes als das Inverse von 2. Also 6.

10.04.2011, 21:05

xxmaxx

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Zitat:

Du solltest dir mal bewusst machen, was 1/13 in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{11} \end{eqnarray*}$ denn überhaupt bedeutet.

woher kommen jetzt die 1/13?

Zitat:

Zunächst ist 13=2

du meinst 13 mod 11 = 2 ?

Zitat:

also sucht man eigentlich 1/2. Und das ist ja nichts anderes als das Inverse von 2. Also 6.

wieso ist das inverse von 2 = 6?

irgendwie versteh ich jetzt garnichts mehr. Deswegen hab ich gemeint ein beispiel wär vl nicht schlecht gewesen :-)

10.04.2011, 23:46

Mystic

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Zitat:

Original von tmo
Du solltest dir mal bewusst machen, was 1/13 in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_{11} \end{eqnarray*}$ denn überhaupt bedeutet. Zunächst ist 13=2, also sucht man eigentlich 1/2. Und das ist ja nichts anderes als das Inverse von 2. Also 6.

Wobei man sagen muss, im konkreten Fall kann er sich sogar die Berechnung von Inversen ersparen, denn es ist ja

$\begin{eqnarray*} x=\frac 2{13}=\frac 22=1, \quad y=\frac {23}{13}=\frac {12}2=6 \end{eqnarray*}$

d.h., geschickte Wahl der Repräsentanten (=gerade Zähler) und Kürzen reicht hier...

11.04.2011, 11:00

tmo

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Ja, aber ich hatte den leisen Verdacht, dass der Threadersteller aus dem konkrenten Fall nichts lernt.

@xxmaxx: Du solltest dir nochmal grundelegende Dinge zu den Restklassenringen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ angucken. Du hast da offensichtliche noch große Lücken, sonst müsstest du nicht fragen, warum $\begin{eqnarray*} 2^{-1}=6 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/11 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt.

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