Kommutatorgruppe Diedergruppe [ÜAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutatorgruppe Diedergruppe [ÜAB]
Zitat:
Zu bestimmen ist G/G' für die Diedergruppe mit .


Es ist .

Für i=0 ist

Für i=1 ist


Des weiteren:





Somit ist . Wie kann ich nun den Isomorphietyp von G/G' bestimmen? Es ist auf jeden Fall abelsch.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Bei gegebener Präsentation von kann man den Isomorphietyp von bestimmen, indem man die Smith-Normalform der Matrix ausrechnet, in der die Relationen "eingetragen sind".
Genauer: Sei eine Präsentation von und die freie Gruppe auf den Erzeugern. Sei der kanonische Gruppenhomomorphismus. Es gilt dann .

Also ist in unserem Fall die Smith-Normalform (vllt. auch als Elementarteilerform o.Ä. bekannt) von zu bestimmen.

Alternativ ist noch folgendes möglich: , wobei die Menge der Kommutatoren aller Erzeuger ist. Das könnte sich hier sogar besser eignen.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Bei gegebener Präsentation von kann man den Isomorphietyp von bestimmen ...
Alternativ ist noch folgendes möglich: , wobei die Menge der Kommutatoren aller Erzeuger ist. Das könnte sich hier sogar besser eignen.


Also die erste Variante taucht in den Unterlagen hier nicht auf. Versuchen wir Variante 2. Präsentation von G, da meinst du

?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dann ist . In den Relationen kann man nun ein bisschen "herummachen" und dann erhält man zwei mögliche Isomorphietypen (für n gerade und ungerade).
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich hätte mir das von Anfang an folgendermaßen überlegt... Ist die Diedergruppe gegeben durch die Relationen



und irgendein Homomorphismus in eine abelsche Gruppe G, so ist diese bereits durch vollkommen festgelegt... Insbesondere sieht man, dass aufgrund der Homomorphieeigenschaft



gelten muss und umgekehrt sind das auch die einzigen Bedingungen, die man an die Bilder und stellen muss, damit dann vermöge



f ein Homomorphismus ist...

Damit gilt weiter



Für ungerade n ist daher und der Homomorphismus entweder trivial oder es ist



Für gerades n haben wir außerdem noch die Möglichkeit



Für mich persönlich wäre das jedenfalls der einsichtigste Zugang zu der Aufgabe, auch wenn der Unterschied zuletzt dann gar nicht mehr so groß war... Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für mich persönlich wäre das jedenfalls der einsichtigste Zugang zu der Aufgabe,


Warum? Weil du versucht, den Homomorphisatz anzuwenden? D2n/D'2n ist abelsch, daher wählst du G abelsch.

Du baust ein f, dessen Kern D'2n ist. Das Bild liefert den gesuchten Isomorphietyp?
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich definiere die Kommutatatorgruppe gewissermaßen über die unverselle Eigenschaft, dass sie im Kern jedes Homomorphismus f von in eine abelsche Gruppe G "drinnenstecken" muss und natürlich auch abelsch ist...

Edit: Vielleicht etwas anschaulicher ausgedrückt, kann man auch sagen ist der kleinste Normalteiler N für den (gerade noch) abelsch ist... Dual dazu ist das größte homomorphe Bild von D_{2n}, welches (gerade noch) abelsch ist... Das ist die eigentliche Idee, die ich oben benütze...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Danke.
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