Gruppe Ordnung 72 [ÜAB] |
| 11.04.2011, 06:24 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Gruppe Ordnung 72 [ÜAB]
72=2³*3². Nach den Sätzen von Sylow gibt es eine oder vier 3-Sylowgruppen. Wenn es eine gibt, so ist diese Normalteiler. Gibt es 4, so sei die Menge der 3-Sylowgruppen mit |M|=4. Da Sylowgruppen paarweise konjugiert sind, kann man G durch Konjugation auf M operieren lassen. Für den zugehörigen Homomorphismus gilt wegen |G| = 72 > 24 = |M|, dass nicht injektiv ist, und da die Sylowgruppen paarweise konjugiert sind, ist nicht trivial. Somit ist der Kern von ein echter Normalteiler und G nicht einfach. |
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| 12.04.2011, 11:15 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Gruppe Ordnung 72 [ÜAB] Sehr nette Beweisidee, welche ich so noch nicht kannte (wenngleich ich jetzt mal vermute, dass diese hier vorgegeben oder durch ein anderes Beispiel nahegelegt war)... 
Irgendwie ist damit auch anschaulich klar, warum es keine "kleinen" einfachen Gruppen zusammengesetzter Ordnung geben kann (die kleinste hat ja immerhin schon die Ordnung 60).. Da nämlich die Fakultäten 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6,... einen "sehr schwachen" Start haben, können sie sich erst gegen die Gruppenordnung "durchsetzen", wenn diese (und damit auch die potenzielle Anzahl der Sylowgruppen!) relativ groß ist... |
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| 12.04.2011, 15:24 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gruppe Ordnung 72 [ÜAB]
Wir hatten hier doch mal so angesetzt: Untergruppe der A5 2 [KAB] |
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| 12.04.2011, 15:32 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gruppe Ordnung 72 [ÜAB]
Ja, aber ich sehe da jetzt keine unmittelbare Analogie... |
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| 12.04.2011, 15:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Gruppe Ordnung 72 [ÜAB] In beiden Fällen brauchen wir doch einen nichttrivialen Normalteiler. Hier zum Beleg von "nicht einfach", dort zum Widerspruch zu "einfach". Die Operation ist hier eine andere. |
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| 12.04.2011, 15:45 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Gruppe Ordnung 72 [ÜAB]
Ja, genau um diesen Punkt geht es, die Operation ist so total anders... Aber wenigstens im Nachhinein seh ich das natürlich auch... Jedenfalls Hut ab, wenn du von alleine auf diese originelle Idee gekommen bist...
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| 12.04.2011, 15:46 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Gruppe Ordnung 72 [ÜAB] Danke 
Bisserl was lerne ich schon von euch. |
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