Gruppe Ordnung 30 [ÜAB]

11.04.2011, 07:07

tigerbine

Gruppe Ordnung 30 [ÜAB]

Zitat:

Es gibt genau 4 Isomorphietypen von Gruppen der Ordnung 30

Es ist 30=4*7+2, daher [andere Aufgabe] besitzt G eine Untergruppe N mit Index 2. N ist also Normalteiler mit |N|=15 und es gilt N ist zyklisch. Nach Sylow besitzt G eine Untergruppe U der Ordnung 2. Diese operiere auf N durch Konjugation. Da U zyklisch ist, ist $\begin{eqnarray*} \phi: U \to Aut(N) \end{eqnarray*}$ bereits durch $\begin{eqnarray*} \phi(u) \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. Weiter ist

$\begin{eqnarray*} Aut(N) \cong Aut(C_15) \cong Aut(C_3) \times Aut(C_5) \cong C_2 \times C_4 \end{eqnarray*}$

und enthält 1 Element der Ordnung 1 und 3 Elemente der Ordnung 2 "(0,0) und (1,0), (0,2), (1,2) für additive C2, C4"

Somit gibt es 4 verschiedene Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und damit 4 verschiedene Isomorphietypen von G.

12.04.2011, 10:24

Mystic

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RE: Gruppe Ordnung 30 [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Es ist 30=4*7+2, daher [andere Aufgabe] besitzt G eine Untergruppe N mit Index 2.

Schade, dass du diesen wichtigen Teil an der Aufgabe hier einfach weglässt, jedenfalls ist damit die Klassifikation der Grupen der Ordnung 30 unvollständig...

Zitat:

Original von tigerbine
Somit gibt es 4 verschiedene Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ und damit 4 verschiedene Isomorphietypen von G.

Dieses Argument scheint mir in dieser Form fragwürdig, da wir ja schon an früheren Beispielen gesehen haben, dass es durchaus mehrere Möglichkeiten für den Automorphismis $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ , wo u ein Erzeuger von U ist, geben kann, diese aber (ganz oder teilweise) zu isomorphen Gruppen führen...

Was genau geschieht also bei diesen 4 Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ ? Es agiert

1. auf $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_5 \end{eqnarray*}$ als Identität (führt auf $\begin{eqnarray*} C_{30} \end{eqnarray*}$ )
2. auf $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ als Inversenbildung und auf $\begin{eqnarray*} C_5 \end{eqnarray*}$ als Identität (führt auf $\begin{eqnarray*} D_6 \times C_5 \end{eqnarray*}$ )
3. auf $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ als Identität und auf $\begin{eqnarray*} C_5 \end{eqnarray*}$ als Inversenbildung (führt auf $\begin{eqnarray*} D_{10} \times C_3 \end{eqnarray*}$ )
4. auf $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_5 \end{eqnarray*}$ als Inversenbildung (führt auf $\begin{eqnarray*} D_{30} \end{eqnarray*}$ )

12.04.2011, 15:31

tigerbine

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RE: Gruppe Ordnung 30 [ÜAB]

Zitat:

Original von Mystic
Schade, dass du diesen wichtigen Teil an der Aufgabe hier einfach weglässt, jedenfalls ist damit die Klassifikation der Grupen der Ordnung 30 unvollständig...

... weil die andere Aufgabe auch noch kommt. Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} Aut(N) \cong Aut(C_{15}) \cong Aut(C_3) \times Aut(C_5) \cong C_2 \times C_4 \end{eqnarray*}$
"(0,0) und (1,0), (0,2), (1,2) für additive C2, C4"

Zitat:

Was genau geschieht also bei diesen 4 Möglichkeiten für $\begin{eqnarray*} \phi_u \end{eqnarray*}$ ? Es agiert

1. "(0,0)": auf $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_5 \end{eqnarray*}$ als Identität (führt auf $\begin{eqnarray*} C_{30} \end{eqnarray*}$ )
2. "(1,0)": auf $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ als Inversenbildung und auf $\begin{eqnarray*} C_5 \end{eqnarray*}$ als Identität (führt auf $\begin{eqnarray*} D_6 \times C_5 \end{eqnarray*}$ )
3. "(0,1)": auf $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ als Identität und auf $\begin{eqnarray*} C_5 \end{eqnarray*}$ als Inversenbildung (führt auf $\begin{eqnarray*} D_{10} \times C_3 \end{eqnarray*}$ )
4. "(1,2)": auf $\begin{eqnarray*} C_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_5 \end{eqnarray*}$ als Inversenbildung (führt auf $\begin{eqnarray*} D_{30} \end{eqnarray*}$ )

Das hätte ich weiter ausführen müssen. Danke.

13.04.2011, 07:44

tigerbine

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RE: Gruppe Ordnung 30 [ÜAB]

Zitat:

Original von Mystic

Zitat:

Original von tigerbine
Es ist 30=4*7+2, daher [andere Aufgabe] besitzt G eine Untergruppe N mit Index 2.

Schade, dass du diesen wichtigen Teil an der Aufgabe hier einfach weglässt, jedenfalls ist damit die Klassifikation der Grupen der Ordnung 30 unvollständig...

Der versprochene Nachtrag zu Ordnungen 4n+2. 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB]

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