Transformation von Zufallsvariablen

11.04.2011, 17:38

QSchlange

Transformation von Zufallsvariablen

Meine Frage:
Hey,

zu einer Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist die zugehörige Dichtefunktion gegeben mit:

$\begin{eqnarray*} f_a(x) = \left\{\begin{array} {cl} e^{a-x} & \mbox{falls } x\geq a\geq 0 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie, für $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ , die Dichte $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} Y=X^{2} \end{eqnarray*}$ .
b) Erzeugen Sie Realisierungen der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ mit Dichten $\begin{eqnarray*} f_a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ durch geeignete Transformation einer Zufallszahl $\begin{eqnarray*} U\sim R(0,1) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Aufgabe a) habe ich berechnet mit

$\begin{eqnarray*} f_{a=0}(x) = \left\{\begin{array} {cl} e^{-x} & \mbox{falls } x\geq 0 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

und etsprechend die Verteilungsfunktion:

$\begin{eqnarray*} F_{a=0}(x) = \left\{\begin{array} {cl} -e^{-x} & \mbox{falls } x\geq 0 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

Bestimmen der Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} F_y(y) = P(X^{2}\leq y)=P(| X | \leq \sqrt{y})=P(-\sqrt{y}\leq x\leq \sqrt{y}) \\ = F_{a=0}(\sqrt{y})-F_{a=0}(-\sqrt{y})=e^{-\sqrt{y}}-e^{\sqrt{y}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g=F_y'(y)=-\frac{e^{-\sqrt{y}}+e^{\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}} \end{eqnarray*}$

Leider habe ich jetzt keine Ahnung, wie ich b) angehen soll, da ich nicht weiß, wie ich $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} X_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ in Relation stellen soll. Bei der a) war ja $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ in Abhängigheit von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gegeben, was bei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ jetzt allerdings nicht der Fall ist. Die Tranformation habe ich irgendwie noch nicht so richtig begriffen. Kann mir jemand weiterhelfen? Vielen Dank!

11.04.2011, 17:40

René Gruber

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Zitat:

Original von QSchlange
$\begin{eqnarray*} F_y(y) = P(X^{2}\leq y)=P(| X | \leq \sqrt{y})=P(-\sqrt{y}\leq x\leq \sqrt{y}) \\ = F_{a=0}(\sqrt{y})-F_{a=0}(-\sqrt{y}) \end{eqnarray*}$

Bis hierhin stimmt's. Dann setzt du aber leider einen falschen Wert für $\begin{eqnarray*} F_{a=0}(-\sqrt{y}) \end{eqnarray*}$ ein. unglücklich

P.S.: Die Verteilungsfunktion selbst

Zitat:

Original von QSchlange
$\begin{eqnarray*} F_{a=0}(x) = \left\{\begin{array} {cl} -e^{-x} & \mbox{falls } x\geq 0 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

stimmt leider auch nicht. Merke: Es muss

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} F(x) = 1 \end{eqnarray*}$

gelten!

12.04.2011, 10:41

QSchlange

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Vielen Dank für Deine schnelle Antwort!

Oh ja, die Verteilungsfunktion ist allerdings Blödsinn.

$\begin{eqnarray*} F_{a=0}(x) = 1-e^{-x} \end{eqnarray*}$

Dann komme ich auf

$\begin{eqnarray*} F_y(y) = F_{a=0}(\sqrt{y}) - F_{a=0}(-\sqrt{y}) = (1-e^{-\sqrt{y}})-(1-e^{\sqrt{y}})=e^{\sqrt{y}}-e^{-\sqrt{y}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow g=F_y'(y)=-\frac{e^{\sqrt{y}}+e^{-\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das dann so?
Bei der b) stehe ich nach wie vor vor dem selben Problem. unglücklich

Viele Grüße

12.04.2011, 10:46

René Gruber

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Die Bemerkung

Zitat:

Original von René Gruber
Dann setzt du aber leider einen falschen Wert für $\begin{eqnarray*} F_{a=0}(-\sqrt{y}) \end{eqnarray*}$ ein. unglücklich

hat nach wie vor ihre Gültigkeit: Das Argument $\begin{eqnarray*} -\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ ist negativ !!! Und die vollständige Verteilungsfunktion lautet

$\begin{eqnarray*} F_{a=0}(x) = \begin{cases} 1-e^{-x} & \mbox{falls } x\geq 0 \\ 0 & \mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

12.04.2011, 11:05

QSchlange

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Hey René,

danke erstmal wieder für deine schnelle Antwort!

Zitat:

Original von René Gruber
Die Bemerkung

Zitat:

Original von René Gruber
Dann setzt du aber leider einen falschen Wert für $\begin{eqnarray*} F_{a=0}(-\sqrt{y}) \end{eqnarray*}$ ein. unglücklich

hat nach wie vor ihre Gültigkeit: Das Argument $\begin{eqnarray*} -\sqrt{y} \end{eqnarray*}$ ist negativ !!!

Ja, aber ich habe doch $\begin{eqnarray*} 1-e^{-x} \end{eqnarray*}$ und dann steht da dementsprechend
$\begin{eqnarray*} 1-e^{-(-\sqrt{y})}=1-e^{\sqrt{y}} \end{eqnarray*}$
Hab ich irgendwo etwas übersehen?

Viele Grüße

12.04.2011, 11:08

QSchlange

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Oh nein, tut mir leid.

$\begin{eqnarray*} F_{a=0}(-\sqrt{y}) = 0 \end{eqnarray*}$

Hammer

Bei b) komm ich leider immer noch nicht weiter.

12.04.2011, 11:21

René Gruber

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Zu b) Ihr habt nicht zufällig in eurer Vorlesung mal was vom Inversionsverfahren gehört?

12.04.2011, 11:55

QSchlange

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Ui, nee, das sagt mir so erstmal nichts. Werde ich mir mal angucken, danke!!

Grüße

12.04.2011, 12:00

René Gruber

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Hab grad nochmal nach Linkquellen geschaut, und muss die Bezeichnung etwas korrigieren: Üblicher ist wohl "Inversionsmethode".

13.04.2011, 15:19

QSchlange

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Heißt das, ich berechne einfach nur $\begin{eqnarray*} F_a^{-1} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} X=F_a^{-1}(u) = a-\ln{1-u} & \mbox{,}u\in (0,1) \end{eqnarray*}$

und eben analog dazu $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ?
So simpel wird es doch wahrscheinlich nicht sein? verwirrt

Viele Grüße

13.04.2011, 15:23

René Gruber

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So simpel ist es wirklich nicht, denn

$\begin{eqnarray*} a-\ln1-u = a-0-u = a-u \end{eqnarray*}$

klappt sicher nicht. Aber vielleicht bist du auch einer von denen, die denken, Klammersetzen ist purer Luxux. Augenzwinkern

13.04.2011, 15:32

QSchlange

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Nein, tut mir leid, ich bin eigentlich ein Freund von Klammern: smile

$\begin{eqnarray*} X=F_a^{-1}(u) = a-\ln(1-u) & \mbox{,}u\in (0,1) \end{eqnarray*}$

Ist es so simpel?
Wofür ist es dann wichtig, dass $\begin{eqnarray*} U\sim R(0,1) \end{eqnarray*}$ ? Oder sagt das eigentlich nur soviel wir $\begin{eqnarray*} u\in (0,1) \end{eqnarray*}$ ? Das ist das, was mich irgendwie von anfang an verwirrt hat.

Danke und Gruß!

13.04.2011, 16:03

René Gruber

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Zitat:

Original von QSchlange
Wofür ist es dann wichtig, dass $\begin{eqnarray*} U\sim R(0,1) \end{eqnarray*}$ ?

Es ist enorm wichtig, dass R gleichverteilt auf [0,1] ist, sonst stimmt die Verteilung der simulierten Größe nicht! Solche Fragen erübrigen sich, wenn man sich den Beweis der Inversionsmethode anschaut.

13.04.2011, 16:37

QSchlange

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Ok, so ganz durchblickt habe ich das Thema wie gesagt noch nicht.
Dank dir auf jedenfall vielmals für deine Hilfe! Freude

Viele Grüße

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