Semidirektes Produkt [ÜAB]

12.04.2011, 03:23

tigerbine

Semidirektes Produkt [ÜAB]

Zitat:

Gegeben seien zwei Gruppen $\begin{eqnarray*} (A,\cdot) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (B,\cdot) \end{eqnarray*}$ und ein Homomorphismus $\begin{eqnarray*} \phi: B\to Aut(A) \end{eqnarray*}$ . Auf der Menge $\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ seine folgende Verknüpfung definiert, für $\begin{eqnarray*} a,a' \in A,~b,b'\in B \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (a,b)(a',b'):=(a\cdot \phi(b)(a'),~b\cdot b') \end{eqnarray*}$ (*)

(i) Zeige $\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ ist damit eine Gruppe

Es ist (*) offensichtliche eine innere Verknüpfung. Sie ist assoziativ, denn (mit Homomorphieeigenschaft)

$\begin{eqnarray*} \Bigl((a,b)(a'b') \Bigr)(a'',b'') = \Bigl(a\cdot \phi(b)(a'),b\cdot b'\Bigr)(a'',b'') =\Bigl(a\cdot \phi(b)(a')\cdot \phi(b\cdot b')(a''),b\cdot b'\cdot b''\Bigr) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a,b)\Bigl((a'b')(a'',b'') \Bigr) =(a,b)\Bigl(a' \cdot \phi(b')(a''), b' \cdot b''\Bigr) =\Bigl(a\cdot \phi(b)(a')\cdot \phi(b\cdot b')(a''),b\cdot b'\cdot b''\Bigr) \end{eqnarray*}$

Sie besitzt mit

$\begin{eqnarray*} (1,1)(a',b')=(1\cdot \phi(1)(a'),1\cdot b')=(a',b') \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a,b)(1,1)=(a \cdot \phi(1)(1),b \cdot 1)=(a,b) \end{eqnarray*}$

ein neutrales Element. Und mit

$\begin{eqnarray*} (a,b)(\phi(b^{-1})(a^{-1}),b^{-1})= (a \cdot \phi(b)(\phi(b^{-1})(a^{-1})),b\cdot b^{-1})=(1,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\phi(b^{-1})(a^{-1}),b^{-1})(a,b)= (\phi(b^{-1})(a^{-1}) \cdot \phi(b^{-1})(a),b^{-1}\cdot b)=(1,1) \end{eqnarray*}$

inverse Elemente. Damit handelt es sich um eine Gruppe. Man nennt sie das Semidirakte Produkt $\begin{eqnarray*} A \rtimes B \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

(ii) $\begin{eqnarray*} A\times \{1\} \end{eqnarray*}$ ist Normalteiler und $\begin{eqnarray*} \{1\} \times B \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} A \rtimes B \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} (a,1), (a',1) \in A\times \{1\} \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann ist nach (i)

$\begin{eqnarray*} (a,1), (a',1)^{-1} = (a,1)(\phi(1)(a'^{-1}),1) = (a \cdot \phi(1)(\phi(1)(a'^{-1}),1\cdot 1)=(a\cdot a'^{-1},1) \in A\times \{1\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1,b), (1,b')^{-1} = (1,b)(\phi(b'^{-1})(1),b'^{-1}) = (1\cdot \phi(b)(1),b\cdot b'^{-1}) =(1,b\cdot b'^{-1}) \in \{1\}\times B \end{eqnarray*}$

Somit handelt es sich um Untergruppen. Des weiteren gilt:

$\begin{eqnarray*} (a,b)(A,1) = (a \cdot \phi(b)(A),b\cdot 1) = (A,b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (A,1)(a,b) = (A \cdot \phi(1)(a),1\cdot b) = (A,b) \end{eqnarray*}$

Somit ist auch die Normalteilereigenschaft nachgewiesen.

Zitat:

(iii) Sei $\begin{eqnarray*} 1 < n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi: (C_2,+) \to Aut(C_n,+) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \phi(0)=id,~\phi(1)(a)=a^{-1} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a \in C_n \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} C_n \rtimes C_2 \cong D_{2n} \end{eqnarray*}$

Es ist

$\begin{eqnarray*} (0,1)(0,1) = (0,1+1)=(0,0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1,0)(1,0) =(1+\phi(0)(1),0+0) = (2,0) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (1,0)^n =(0,0) \end{eqnarray*}$

Beim Nachweis der dritten Bedingung " $\begin{eqnarray*} \alpha \beta \alpha^{-1} = \beta^{-1} \end{eqnarray*}$ " Bleibe ich hängen. Sind die Inversen schon falsch?

12.04.2011, 09:14

Mystic

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