positiv definite Matrix
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12.04.2011, 16:38 El Rey Auf diesen Beitrag antworten »
positiv definite Matrix
Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

ich sitze hier grad an folgender aufgabe und bin mir nicht sicher ob ich das richtig mache

gegeben ist eine matrix A und man soll zeigen das die positiv definit ist



Meine Ideen:
ich dachte erst es reicht zu zeigen das gilt aber dann habe ich ein kriterium im skript gefunden das so geht

aber wie soll man das damit nach weisen ??
außerdem soll [latex]\vec{x} \neq \vec{0} [latex] sein

kann mir da wer helfen ??
12.04.2011, 17:04 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: positiv definite Matrix
Das was du schauen wolltest, war ob die Matrix symmetrisch ist. Das ist was anderes. Das zweite ist die Definition.

Da die Matrix symmetrisch ist, würde ich dir gerne mal folgendes Kriterium zeigen:

Zitat:
Hauptminoren http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit

Eine symmetrische bzw. hermitesche Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren von A positiv sind. Entsprechend ist A negativ definit, falls alle Hauptminoren von-A positiv sind. A ist also genau dann negativ definit, falls die Vorzeichen der Hauptminoren alternieren, das heißt, falls alle ungeraden Hauptminoren negativ sind und alle geraden positiv.


Das wird ziemlich oft zum Nachweis verwendet, gerade wenn man konkrete Zahlen hat. Eignet sich auch gut zum Umkehrschluss. Überleg mal was a(1,1)=-1, oder a(n,n)=-1 bedeuten würde.
12.04.2011, 17:08 El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

hauptminoren hatten wir noch nich

aber wir hatten schon eine bemerkung das alle positiv definiten matrizen invertierbar sind
kann man dann nich einfach zeigen das invertierbar is ??

oder is dieser schluss nich zulässig ??

wenn nich kannst du mir erklären was hauptminoren sind ??
12.04.2011, 17:11 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aber wir hatten schon eine bemerkung das alle positiv definiten matrizen invertierbar sind
kann man dann nich einfach zeigen das invertierbar is ??


Gefährlicher Denkfehler! Nicht jede invertierbare Matrix ist positiv definit!

Determinanten kennst du?
12.04.2011, 17:18 El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

ja det kann ich berechnen smile
12.04.2011, 17:19 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hauptminioren A[k] sind Determinanten.









Klar, was ich meine?
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12.04.2011, 17:22 El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

okay also wenn die 3 positiv sind dannn ist positiv definit ?? und falls eine negativ ist is die dann negativ definit ??
12.04.2011, 17:25 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Alle 3 positiv => positiv definit

Alle 3 negativ => negativ definit

Gemischt => indefinit
12.04.2011, 17:26 El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich denke ich versteh das soweit danke dafür Augenzwinkern
12.04.2011, 17:28 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Testfrage:



Ist B positiv definit? OHNE Rechnung zu lösen!

Und hier? Es geht auch anders herum!
12.04.2011, 17:32 El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

in jedem fall nich weil der erste eintrag auf der hauptachse negativ ist und schon
12.04.2011, 17:36 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

B Freude

C unglücklich

code: 
1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:

C:=matrix(3,3,[3,-2,0,-2,3,-1,0,-1,-2]);
                             [ 3    -2     0]
                             [              ]
                        C := [-2     3    -1]
                             [              ]
                             [ 0    -1    -2]

> R0 := linalg[det](C);

                              R0 := -13


Schau mal C(3,3) an. Das meinte ich mit: Es geht auch umgekehrt. Man kann diese Teilmatrizen auch von unten rechts nach oben links bauen! Spart viel Zeit, wenn man so was weiß. Augenzwinkern
12.04.2011, 17:39 El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

aso okay danke für den tipp Augenzwinkern
12.04.2011, 17:41 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wink
12.04.2011, 17:51 El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich dazu jez eine orthonormalbasis berechnen will

muss ich ja

kann ich dann setzen und dann so weiter das halt die spalten meiner matrix meine ausgangsvektoren sind ??
12.04.2011, 17:53 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

ONB von was?
12.04.2011, 17:55 El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

ohh klar hätt ich dazu schreiben sollen des
12.04.2011, 17:56 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die kann man ja direkt hinschreiben, oder. Augenzwinkern Wenn nur ONB von IR³ verlangt ist....
12.04.2011, 18:00 El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

naja da steht des von induzierten skalarproduktes
12.04.2011, 18:05 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh

Dann nimm doch die Standard ONB und mach Gram-Schmidt mit neuem Skalarprodukt...?

Kannst auch die Palten von A nehmen. Linear unabhängig ist wichtig.

GS rechne ich nicht nach... sorry... geschockt
12.04.2011, 18:08 El Rey Auf diesen Beitrag antworten »

meinst du ich soll einfach mit den einheitsvektoren anfangen ??

was heißt überhaupt induziertes skalarprodukt ?? das versteh ich grad i-wie nich geschockt
12.04.2011, 18:09 tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schlag mal im Skript/Buch nach, was man mit SPD-MAtrizen so machen kann. Da steht auch was zum Thema Skalarprodukt.

Wichtig ist, am Ende haben wir eine ONB bzgl. des neuen Skalarpodukts. Ob man mit den der Standrdbasis oder den Spalten einen Rechenvorteil hat, weiß ich gerade nicht.
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