ker A^k = ker A^n für n>k |
| 12.04.2011, 19:12 | HilfloserStudent | Auf diesen Beitrag antworten » |
| ker A^k = ker A^n für n>k Ich benötige für folgende (vermutlich simple) Aufgabe ein wenig Unterstützung, da ich ein Brett vor dem Kopf habe. Leider kann ich noch kein Latex (bin im 2. Semester), aber ich hoffe, die Aufgabe ist auch so verständlich. Sei A € M (m x m , R) und k € N die kleinste Zahl, s.d. ker A^k = ker A^(k+1) (hierbei sind R die reellen Zahlen, N die natürlichen Zahlen) Man zeige: ker A^k = ker A^n für n>k Bislang habe ich nur rumgerätselt und ein wenig geguckt, ob ich irgendein simples Gesetz anwenden kann, um es rekursiv zu "beweisen", aber mir ist nichts eingefallen... Könnt ihr mir da vielleicht einen Ansatz geben? Beste Grüße, Micha |
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| 12.04.2011, 19:36 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Betrachten wir einfach erstmal , ich denke, wenn man das hat, ist der Rest nicht mehr schwer. Klar ist, dass nur zu zeigen ist, die andere Inklusion ist trivial und gilt immer. Sei also . Daraus folgt . Wie könntest du weitermachen? |
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| 12.04.2011, 20:33 | HilfloserStudent | Auf diesen Beitrag antworten » |
Erst mal vielen Dank für die schnelle Antwort! Also mal sehen, ob ich was verstanden habe: Ich will zeigen, dass Kern A ^(k+2) Teilmenge von Kern A^(k+1) und habe nach Deinem Ansatz, dass Ax € Kern A^(k+1) sein muss. Das muss also noch gezeigt werden, damit die Inklusion gilt, richtig? Ich bin mir nicht sicher, aber ein Ansatz: Wenn Ax € Kern A^(k+1), folgt Ax € Kern A^k. Das ist eine wahre Aussage, da gilt 0 = A^k (Ax). Hieraus müsste dann schon folgen, dass die Inklusion gilt und somit Ker A^k+2 = Ker A^k+1 gilt. Das selbe Spiel könnte ich dann (per vollständiger Induktion?) für n zeigen und fertig, oder? Viele Grüße, Micha |
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| 12.04.2011, 22:48 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau. Und wenn du genau hinguckst, siehst du auch, dass es im Induktionsschritt gar keiner Argumentation mehr bedarf, denn das steckt ja alles schon in dem ersten Schritt drin. |
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| 13.04.2011, 11:41 | turbojunge | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich wundere mich gerade, dass in der Aufgabenstellung k als minimal (mit der Eigenschaft, dass...) beschrieben ist. Diese Bedingung scheint gar nicht nötig zu sein. |
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| 13.04.2011, 16:55 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » |
Diese Bedingung ist in der Tat gar nicht nötig, sie lenkt sogar eher ab, weil man im Induktionsschritt zögern könnte, weil ja dann die Minimalität nicht mehr gegeben ist. Der einzige Vorteil könnte sein, dass die Aussage zu einer "genau dann wenn"-Aussage wird, wenn man k minimal wählt. Also dann gilt . |
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