2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB] |
13.04.2011, 05:37 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB]
Also da Permutationen als Tipp gegeben sind, wird was mit der symmetrischen Gruppe zu tun haben. Ich habe eine ähnlich Aufgabe gefunden, und versuche das mal anzupassen. Es gilt hier mit und ungerade. Nach Cayley kann man mit einer Untergruppe von identifizieren. Dazu verwendet man gerade die im Tipp angegebenen Bijektionen: mit . Es ist also und . Da die 2-Sylowgruppe zyklisch ist, enthält sie ein Element s der Ordnung und damit gilt auch . Die Abbildung ist des weiteren fixpunktfrei und daher das Produkt von m disjunkten Zyklen der Länge , und somit das Produkt von Transpositionen. Daher gilt und .
Es ist ein Normalteiler von , daher ist (Komplexprodukt [ÜAB]) und es gilt und . Wegen muss gelten . Mit dem ersten Homomorphiesatz folgt für Gruppe mit Untergruppe und Normalteiler : und Damit gilt und U besitzt eine Untergruppe vom Index 2. Da U isomorph zu G war, folgt die Behauptung.
Es ist mit m ungerade. Die 2-Sylowgruppe hat hier die prime Ordnung 2 und ist daher zyklisch. Aus (i) folgt die Behauptung.
Eine Untergruppe von Index 2 ist Normalteiler. Die Gruppe hat die gerade Ordnung 60, ist aber einfach. |
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13.04.2011, 10:05 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB] Wenn ich mich nicht irre, gehst du im Prinzip den Weg, der hier u.a. auch von mir vorgeschlagen wurde... Der Satz um den es hier geht ist doch genau der folgende Satz: Jede Gruppe der Ordnung 2n, n ungerade, enthält einen Normalteiler der Ordnung n. Wenn du bestätigst, dass ich damit recht habe, dann werde ich den (wieder einmal ) sehr viel einfacheren Beweis in obigen Thread einfügen, sobald ich etwas mehr Zeit habe als im Moment... |
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13.04.2011, 13:42 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB] Ok, ich mach das dann doch hier, denn man kann ja große Teile von deinem Beweis noch übernehmen. Was ich im Wesentlichen nicht verstehe, ist der Teil, der auf
folgt. Warum kann man da nicht einfach sagen, die Komposition ist unter den gegebenen Umständen ein Epimorphismus, ihr Kern hat daher automatisch den Index 2? Hab ich dabei was übersehen? |
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13.04.2011, 15:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB]
Das ist der Satz (mit entsprechendem Beweis), denn ich als Vorlage benutzt habe. Korrekt.
Im Buch wurde der Weg gegangen, den ich gepostet habe. Das muss nicht heißen, dass deins nicht geht. Für mich wäre wichtig: Ist der von mir gepostet Weg korrekt? Dann können wir gerne die Spritsparvariante machen. ================= edit: Wir hatten . Nun möchtest du das mit dem Signumhomomorphismus verknüpfen. Nach der Vorarbeit wissen wir, es gibt ein mit . Damit ist der Homomorphismus surjektiv. => Kern ist ungleich G. Aus Ordnunggründen ist der Homomorphismus aber auch nicht injektiv, also Kern ungleich {e}. Somit ist der Kern ein echter Normalteiler von G. Nun hänge ich, warum der Index dann 2 ist... |
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13.04.2011, 21:24 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB] Sei und s ein Element, das nicht in N liegt, also dann auf -1 abgebildet wird.... Dann besteht doch nur aus den 2 Nebenklassen N und sN... |
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13.04.2011, 21:26 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB] Danke, runter von der Leitung... Damit sind wir hier fertig, oder? |
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13.04.2011, 21:27 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB] Ja, aus meiner Sicht schon... |
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13.04.2011, 21:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: 2-Sylowgruppen und Index 2 [ÜAB] Gut. |
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