Ring End(A,+) [ÜAB] |
13.04.2011, 06:57 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ring End(A,+) [ÜAB]
1. End(A,+) ist mit der punktweisen Addition eine abelsche Gruppe, weil (A+) eine abelsche Gruppe ist 2. Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ und es gibt eine 1 (Identitätsabbildung) [Eins wird im Skript beim Ring mitverlangt] 3. Sei aus End(A,+). Dann gilt für alle a aus A: Distributivgesetze gelten => Ring.
Da fehlen mit gerade der Überblick, wie http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#Formale_Definition nachzuweisen ist, ober ob man da die alternative Definition http://de.wikipedia.org/wiki/Vektorraum#...tive_Definition nehmen soll... |
||||||
13.04.2011, 07:43 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ring End(A,+) [ÜAB]
Ja, die alternative Definition ist exakt das was du hier brauchst... Wegen der Einfachheit des Körpers K ist jeder Ringhomorphismus von K in End(A) entweder trivial oder eine Einbettung... Was übrigens die Distributivgesetze in End(A) betrifft, so ist vielleicht die Beobachtung ganz wertvoll, dass die Homorphieeigenschaft von Elementen in End(A) nur für das linksdistributive Gesetz benötigt wird, das andere gilt von Haus aus... |
||||||
13.04.2011, 17:42 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
muss das nachvollziehen.
Ein Körper hat nur die trivialen Ideale und . Der Kern eines Ringhomomorphismus , ist ein Ideal von K. Daher ist entweder trivial oder eine Einbettung von in . ==================================== Wie geht nun die Aufgabe. Man muss ja zwei Richtungen zeigen... "<=" Sei eine Einbettung von in , enthält also einen zu isomorphen Teilkörper. Diesen nehmen wir nun als Skalarpkörper ? Und die (bekannten) Axiome prüft man mittels . "=>" Sei die additive Gruppe eines K-Vektorraums. Dann ist durch die Axiome geregelt, wie die Skalarmultiplikation aussieht, d.h. wie K auf A operiert. Und das ist nicht trivial. Also folgt mit dem zur Operation gehörigen Ringhomomorphismus, dass R einen zu K isomorphen Teilkörper enthält. |
||||||
13.04.2011, 21:50 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ring End(A,+) [ÜAB] Mir ist leider nicht klar, worum es hier überhaupt geht... Wenn es um folgenden Satz
geht, dann würde ich das so beweisen... Enthält End(A,+) einen zu K isomorphen Teilkörper und ist die dazugehörige Einbettung, so ist dann natürlich durch eine Skalarmultiplikation gegeben, welche A zu einem K-Vektorraum macht... Ist umgekehrt A ein K-Vektorraum, so induziert das automatisch einen Ringhomomorhismus von K in End(A,+), wobei jedes k auf Endomorphismus abgebildet wird... Der Kern dieser Abbildung ist aber ein Ideal von K, wegen der Einfachheit von K daher das Nullideal... Damit ist diese Abbildung tatsächlich eine Einbettung... |
||||||
13.04.2011, 21:53 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Ring End(A,+) [ÜAB] Um den Satz ging es. |
|
Verwandte Themen
Die Beliebtesten » |
|
Die Größten » |
|
Die Neuesten » |