Nichtlineares Gleichungssystem numerisch mittels CAS lösen

13.04.2011, 11:57	al3ko	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichtlineares Gleichungssystem numerisch mittels CAS lösen Meine Frage: Hi Leute, ich habe momentan arge Probleme mit Lösen des folgenden Gleichungssystems: $\begin{eqnarray} 0=1-2cos(11a1)+2cos(11a2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=1-2cos(13a1)+2cos(13a2) \end{eqnarray}$ Es soll nicht per Hand gelöst werden. CAS Programme dürfen verwendet werden. Matlab habe ich momentan nicht zur Hand; ich versuchte es mit Maple. Die Ergebnisse sollen irgendwo zwischen 0 und $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ liegen. Meine Ideen: Folgende drei Lösungen habe ich mittels solve() in Maple erhalten: $\begin{eqnarray} {a1;a2} \end{eqnarray}$ 1. Lösung $\begin{eqnarray} {1,0472;1,5708} \end{eqnarray}$ 2. Lösung $\begin{eqnarray} {2,094; 3,1416} \end{eqnarray}$ 3. Lösung $\begin{eqnarray} {1,5708;2,094} \end{eqnarray}$ Setze ich die Werte in die Gleichungen ein, kommt auch ungefähr 0 heraus. Das freut mich. Problem ist allerdings: Setze ich die Werte in diese Gleichung ein, also anstatt der 11 bzw. 13 eine 1, $\begin{eqnarray} 0=1-2cos(1a1)+2cos(1a2) \end{eqnarray}$ so kommt auch nahezu 0 heraus. Und das möchte ich nicht Eine kurze Erklärung, worum es geht: Ein periodisches Rechtecksignal wechselt die Polarität bei $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ . Eine Fourier Analyse wurde vorgenommen. a1 und a2 sind extra "Shifts" zwischen 0 und $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ um gezielte Oberwellen zu eliminieren. Das Gleichungssystem ist daraus entstanden, wenn die 11. und 13. Oberwelle eliminiert werden soll. Die Grundwelle (also die 1) soll dabei so gut wie möglich erhalten bleiben. Da möglicherweise mehrere Lösungen zustande kommen, soll die Lösung gewählt werden, bei der die Grundwelle am größten ist. Die Grundwelle ist bei meinen Lösungen jedoch, wie bereits erwähnt, ebenfalls 0. Und sowas mögen wir Elektrotechniker nicht Deshalb wäre ich sehr dankbar, wenn ihr die Gleichungen mal in euer CAS einhaken und meine Ergebnisse bestätigen oder vernichten könnt. Vielen Dank, al3ko
13.04.2011, 14:30	René Gruber	Auf diesen Beitrag antworten »
Exakt lösen kann ich das System jetzt auch nicht, aber deine Lösungen zumindest sind Spezialfälle der drei Lösungsscharen $\begin{eqnarray} a_1 = \pm\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \; a_2 = (2l+1)\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1 = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \; a_2 = (2l+1)\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1 = (2k+1)\frac{\pi}{2},\; a_2 = \pm\frac{2\pi}{3} + 2l\pi \end{eqnarray}$ mit beliebigen ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} k,l \end{eqnarray}$ . Konsequenterweise sollte man auch noch eine vierte Schar $\begin{eqnarray} a_1 = 2k\pi,\; a_2 = \pm\frac{\pi}{3} + 2l\pi \end{eqnarray}$ mit aufnehmen. All das sind Lösungen, die dir hinsichtlich deines zweiten Kriteriums "nicht gefallen". Ich fürchte, dass es gar keine Lösungen gibt, die dir gefallen werden. EDIT: Da habe ich mich wohl getäuscht.
13.04.2011, 14:48	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
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13.04.2011, 16:36	al3ko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Leute, danke schon mal für eure Beiträge. @riwe: Danke für deine beiden Lösungen: $\begin{eqnarray} \alpha_1=1,059846 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha_2=0,132297 \end{eqnarray}$ Wenn ich die Probe mache: $\begin{eqnarray} b_n=\frac{4}{2n\pi}({1-2cos(n\alpha_1)+2cos(n\alpha_2)}) \end{eqnarray}$ 11. Oberwelle: $\begin{eqnarray} b_{11}=\frac{4}{211\pi}({1-2cos(11\alpha_1)+2cos(11\alpha_2)})=0 \end{eqnarray}$ 13. Oberwelle: $\begin{eqnarray} b_{13}=\frac{4}{213\pi}({1-2cos(13\alpha_1)+2cos(13\alpha_2)})=0 \end{eqnarray}$ Grundwelle: $\begin{eqnarray} b_1=\frac{4}{2\pi}({1-2cos(\alpha_1)+2cos(\alpha_2)})=1.2761 \end{eqnarray}$ Das Problem ist, dass ich nicht wirklich weiß, wonach ich suche Aber die Grundwelle sollte m.E. irgendwo zwischen 0 und 1 liegen. 1.2761 bedeutet, dass es mehr als 100% ist - ergibt das einen Sinn? Davon mal abgesehen: Wie bist du auf die beiden Lösungen gekommen? $\begin{eqnarray} \alpha_1=1,059846 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha_2=0,132297 \end{eqnarray}$ Hat dir das Programm vielleicht noch mehr ausgespuckt? Welches Programm hast du verwendet? Vielen Dank und freundliche Grüße
13.04.2011, 17:04	al3ko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Leute, Thema hat sich erledigt. Mit Arndt Brünner habe ich verschiedene Szenarien durchgespielt. Hier meine Ergebnisse: Dennoch möchte ich euch danken. PS: Falls wer weiß, wie ich Maple auch weitere Lösungen aus der Nase ziehen kann (wenn ich fsolve() verwende), wäre ich sehr dankbar. Der Befehl allvalues(fsolve(...)) funktioniert bei mir scheinbar nicht :/ al3ko
13.04.2011, 18:04	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ich will trotzdem deine frage(n) beantworten: ganz einfach mit dem excel - solver und ein bißerl mit den startwerten herumspielen!
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