sigma-Algebra

13.04.2011, 13:37

Gast11022013

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sigma-Algebra

Meine Frage:
Zeigen Sie, dass für $\begin{eqnarray*} \Omega\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ das Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}_{\Omega}=\left\{A\cap \Omega : A\in \mathcal{B}^n\right\} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ist.

[Man nennt $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ die Borel - $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra auf $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .]

Meine Ideen:
Also zunächst mal eine Verständnisfrage:
Mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$ ist doch die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gemeint? Das heißt $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}^n:=\sigma(\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ irgendein Erzeuger der Borel - $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist, also beispielswiese für n beliebig $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{\prod_{i=1}^{n} [a_i,b_i] : a_i<b_i, a_i,b_i\in \mathbb Q \right\} \end{eqnarray*}$ oder im Fall von n=1 $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{]-\infty,c] : c\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ .

[Korrekt?]
------------------------

So, nun zu der Aufgabe selbst.
Zeigen muss ich ja:

(1) $\begin{eqnarray*} \Omega \in \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$

(2) $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{B}_{\Omega} \Rightarrow A^{C}:=\Omega\backslash A \in \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$

(3) $\begin{eqnarray*} A_1,A_2,\hdots \in \mathcal{B}_{\Omega} \Rightarrow \bigcup_{i\geq 1} A_i\in \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ .

Zu (1):

Es ist ja $\begin{eqnarray*} \Omega\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .
A ja eine Borelmenge und zum Beispiel sind alle offenen Mengen $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ Borelmengen. Das bedeutet doch, egal wie $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ aussieht: Man findet doch ein A, das $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ sozusagen umschließt und damit $\begin{eqnarray*} A\cap \Omega=\Omega \end{eqnarray*}$ .

Kann man das so sagen?

Den Rest lasse ich erstmal offen.

13.04.2011, 14:00

Math1986

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RE: sigma-Algebra

Zitat:

Original von Dennis2010
Meine Ideen:
Also zunächst mal eine Verständnisfrage:
Mit $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$ ist doch die $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ gemeint? Das heißt $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}^n:=\sigma(\mathcal{G}) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathcal{G} \end{eqnarray*}$ irgendein Erzeuger der Borel - $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ ist, also beispielswiese für n beliebig $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{\prod_{i=1}^{n} [a_i,b_i] : a_i<b_i, a_i,b_i\in \mathbb Q \right\} \end{eqnarray*}$ oder im Fall von n=1 $\begin{eqnarray*} \mathcal{G}=\left\{]-\infty,c] : c\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$ .

[Korrekt?]

Ja
------------------------

Zitat:

Original von Dennis2010
Zu (1):

Es ist ja $\begin{eqnarray*} \Omega\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ .
A ja eine Borelmenge und zum Beispiel sind alle offenen Mengen $\begin{eqnarray*} A\subset \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ Borelmengen. Das bedeutet doch, egal wie $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ aussieht: Man findet doch ein A, das $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ sozusagen umschließt und damit $\begin{eqnarray*} A\cap \Omega=\Omega \end{eqnarray*}$ .

Das stimmt, aber WIE findet man das A? Wie muss das A aussehen um $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ zu erhalten?

13.04.2011, 14:13

Gast11022013

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Ja, die Frage ist, wie A denn aussieht.

Vielleicht $\begin{eqnarray*} A:=\Omega \cup (\mathbb R^n\backslash \Omega) \end{eqnarray*}$ ?

13.04.2011, 14:21

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Ja, die Frage ist, wie A denn aussieht.

Vielleicht $\begin{eqnarray*} A:=\Omega \cup (\mathbb R^n\backslash \Omega) \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} A:=\Omega \cup (\mathbb R^n\backslash \Omega)=\mathbb R^n \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das ist prinzipiell richtig, denn $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\in\mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n\cap\Omega=\Omega \end{eqnarray*}$
Was ist mit 2) und 3) ?

13.04.2011, 14:46

Gast11022013

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Bei (2) und (3) überlege ich noch.

Zu (2):

Sei $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ .
Dann ist A ja von der Form $\begin{eqnarray*} \Omega\cap B, B\in \mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} A=\Omega\cap B \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} A^{C}=\Omega\backslash A=\Omega\backslash (\Omega\cap B) \end{eqnarray*}$ .

De Morgan:
$\begin{eqnarray*} \Omega\backslash (\Omega\cap B)=(\Omega\backslash \Omega)\cup (\Omega\backslash B)=\emptyset \cup \Omega=\Omega\in \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ nach (1).

Ich glaube nicht, dass das stimmt. Aber etwas Anderes fällt mir da nicht ein.

Edit:
Änderungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} \Omega\backslash (\Omega\cap B)=(\Omega\backslash \Omega)\cup (\Omega\backslash B)=\emptyset \cup (\Omega\backslash B)=\Omega\backslash B\subset \Omega\in \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ nach (1)

Denn entweder ist doch $\begin{eqnarray*} (\Omega\backslash B)=\emptyset \end{eqnarray*}$ (und das ist Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ) oder es ist eine andere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , wenn nämlich $\begin{eqnarray*} B\subset \Omega \end{eqnarray*}$ .

13.04.2011, 16:25

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010

$\begin{eqnarray*} \Omega\backslash (\Omega\cap B)=(\Omega\backslash \Omega)\cup (\Omega\backslash B)=\emptyset \cup (\Omega\backslash B)=\Omega\backslash B\subset \Omega\in \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ nach (1)

Denn entweder ist doch $\begin{eqnarray*} (\Omega\backslash B)=\emptyset \end{eqnarray*}$ (und das ist Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ) oder es ist eine andere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , wenn nämlich $\begin{eqnarray*} B\subset \Omega \end{eqnarray*}$ .

Ja, soweit korrekt.

Was ist mit 3) ?

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13.04.2011, 17:34

Gast11022013

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Bei (3) tu' ich mich irgendwie schwer. Ich versuch' s trotzdem mal!

Zu (3):

Seien $\begin{eqnarray*} A_1,A_2,A_3,\hdots \in \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} A_1=\Omega\cap A, A\in \mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_2=\Omega\cap B, B\in \mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1\cup A_2\cup \hdots =(\Omega\cap A)\cup (\Omega\cap B)\cup \hdots \end{eqnarray*}$

Ich würde mir jetzt exemplarisch mal die Vereinigung von $\begin{eqnarray*} A_1, A_2 \end{eqnarray*}$ ansehen:

$\begin{eqnarray*} (\Omega\cap A)\cup (\Omega\cap B)=((\Omega\cap A)\cup \Omega)\cap ((\Omega\cap A)\cup B)=((\Omega\cup \Omega)\cap (\Omega\cup A))\cap ((B\cup \Omega)\cap (B\cup A)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\underbrace{(\Omega\cap (\Omega\cup A))}_{=\Omega}\cap ((B\cup \Omega)\cap (B\cup A)) \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} ((B\cup \Omega)\cap (B\cup A)) \end{eqnarray*}$ ist entweder

a) $\begin{eqnarray*} (B\cap A)\in \mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} (B\cap B)=B\in \mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$
c) $\begin{eqnarray*} (\Omega \cap A)=\Omega \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} =A\in \mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$
d) $\begin{eqnarray*} (\Omega \cap B)=\Omega \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} =B\in \mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$

Und es sind nun m.E. alle Schnitte aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ und a), b), c), d) Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ .

Dann dürfte auch die unendliche Vereinigung solcher Mengen $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ enthalten sein.

13.04.2011, 17:53

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Bei (3) tu' ich mich irgendwie schwer. Ich versuch' s trotzdem mal!

Zu (3):

Seien $\begin{eqnarray*} A_1,A_2,A_3,\hdots \in \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} A_1=\Omega\cap A_1', A_1'\in \mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_2=\Omega\cap A_2', A_2'\in \mathcal{B}^n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \vdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_1\cup A_2\cup \hdots =(\Omega\cap A_1')\cup (\Omega\cap A_2')\cup \hdots \end{eqnarray*}$

Du musst jetzt zeigen dass es für unendliche Vereinigungen gilt, es genügt nicht, dies nur für endliche zu zeigen.

Ich habe deine Bezeichnung mal etwas geändert

Betrachte mal
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\in\mathbb N}\left(\Omega\cap A_i'\right) \end{eqnarray*}$
Und wende darauf mal die Gesetze von de'Morgan an

13.04.2011, 18:10

Gast11022013

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Zitat:

Original von Math1986
Betrachte mal
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\in\mathbb N}\left(\Omega\cap A_i'\right) \end{eqnarray*}$
Und wende darauf mal die Gesetze von de'Morgan an

Tut mir leid, ich weiß nicht, wie ich die Regeln hier anwenden kann.

Du meinst doch mit "de Morgan' sche Regeln":

1.) $\begin{eqnarray*} \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B} \end{eqnarray*}$ und

2.) $\begin{eqnarray*} \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B} \end{eqnarray*}$ ?

Ich sehe nicht, wie man 1.) oder 2.) zur Anwendung bringen kann.

13.04.2011, 18:11

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010

Zitat:

Original von Math1986
Betrachte mal
$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\in\mathbb N}\left(\Omega\cap A_i'\right) \end{eqnarray*}$
Und wende darauf mal die Gesetze von de'Morgan an

Tut mir leid, ich weiß nicht, wie ich die Regeln hier anwenden kann.

Du meinst doch mit "de Morgan' sche Regeln":

1.) $\begin{eqnarray*} \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup \overline{B} \end{eqnarray*}$ und

2.) $\begin{eqnarray*} \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap \overline{B} \end{eqnarray*}$ ?

Ich sehe nicht, wie man 1.) oder 2.) zur Anwendung bringen kann.

Wieso siehst du das nicht
Die erstere ist anwendbar, diese Regeln gelten auch für überabzählbar viele Mengen

13.04.2011, 18:16

Gast11022013

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Ich sehe nicht, was das mit den Komplementen zu tun hat, die in der Regel benutzt werden.

Edit:

Meinst Du es so:

Es ist immer auch das Komplement enthalten nach (2).
Kann man sich deswegen stattdessen auch die Vereinigung der Komplemente ansehen?

Ich meine:

$\begin{eqnarray*} \bigcup_{i\geq 1}(\Omega\cap A_i')=\overline{\overline{\bigcup_{i\geq 1} (\Omega\cap A_i'})}=\overline{\bigcap_{i\geq 1} \overline{(\Omega\cap A_i')}} \end{eqnarray*}$

Und der Durchschnitt über die Komplemente ist ja in $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ enthalten, da ja jedes $\begin{eqnarray*} \overline{(\Omega\cap A_i')}\in \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ nach (2).

Sei also der Übersicht halber $\begin{eqnarray*} C:=\bigcap_{i\geq 1} \overline{(\Omega\cap A_i')} \in \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ , d.h. C ist "ein ganz normales" Element, das in $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ liegt.

Dann ist aber $\begin{eqnarray*} \overline{C} \end{eqnarray*}$ auch in $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}_{\Omega} \end{eqnarray*}$ , da ja immer jeweils das Komplement enthalten ist nach (2).

13.04.2011, 19:04

Math1986

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Ja das sieht gut aus Freude

Freude

13.04.2011, 19:26

Gast11022013

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Danke für Deine Hilfe!
Ich bin froh, dass ich mal was hinbekommen habe und nur ein paar "Anstupser" von Dir brauchte.

15.08.2011, 14:00

Gast11022013

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Hm, leider wurde (3) als "falsch" bewertet. 2 Punkte gingen flöten.

Ich weiß aber nicht so wirklich, wieso.

Jemand eine Idee?

15.08.2011, 14:12

Math1986

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Zitat:

Original von Dennis2010
Hm, leider wurde (3) als "falsch" bewertet. 2 Punkte gingen flöten.

Ich weiß aber nicht so wirklich, wieso.

Jemand eine Idee?

Keine Ahnung, frag doch den Korrektor.
Ohne die Abgabe zu sehen kann ich das wirklich nicht sagen.

15.08.2011, 14:13

Gast11022013

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Okay, werde ich tun.

Ich dachte nur, daß der Fehler vllt. offensichtlich wäre.

Ich sehe da nämlich (bis jetzt) keinen.

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