Frage zu abelschen Gruppen

14.04.2011, 15:53

Karitemo

Frage zu abelschen Gruppen

Hi,

ich habe eine Frage zu albelschen Gruppen:

Hier soll G eine alb. Gruppe sein mit $\begin{eqnarray*} \forall g,h \in G: g \cdot h = h \cdot g \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \prod\limits_{g \in G} g^2 = 1 \end{eqnarray*}$

Das ganze ergibt ein 1 weil es in jeder alb. Gruppe zu einem g ein g* (Inverse) gibt, und dadurch zwangsläufig jedes Element mit seinem Inversen mutlipliziert wird, was am Ende zum Ergebnis mit 1 führt.

Die Quadrierung stört hier jetzt nicht, da diese die zahlen zwar quadriert, aber die Inversen genau so.

Ist das so richtig?

14.04.2011, 16:01

tmo

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Also die Idee mit dem Inversen ist richtig, aber die Ausführung ist noch nicht richtig.

Denn es kann auch selbstinverse Elemente geben. Und deswegen es ist nicht nur so, dass die Quadrierung nicht stört, sondern sie ist sogar sehr entscheidend.

Denn $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G} g = 1 \end{eqnarray*}$ wäre nur für eine Gruppe mit ungerader Ordnung richtig.

Ein formaler Beweis der zu zeigenden Aussage gelingt dir, wenn du zeigst/anmerkst, dass $\begin{eqnarray*} \eta: G \to G, g \mapsto g^{-1} \end{eqnarray*}$ eine Bijketion ist und deswegen $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G} g = \prod_{g \in G} \eta(g) = \prod_{g \in G} g^{-1} \end{eqnarray*}$ gilt.

14.04.2011, 16:30

Mystic

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Zitat:

Original von tmo
Denn $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G} g = 1 \end{eqnarray*}$ wäre nur für eine Gruppe mit ungerader Ordnung richtig.

Ne, richtig ist, dass das Produkt aller Gruppenelemente in einer endlichen abelschen Gruppe gemäß obigem Argument gleich dem Produkt aller selbstinversen Elemente der Gruppe ist und das kann, wie man am Beispiel der Kleinschen Viergruppe sieht, durchaus 1 sein...

14.04.2011, 16:38

tmo

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Es war schlecht formuliert, es sollte heißen, dass man nur bei einer abelschen Gruppe ungerader Ordnung sicher sein kann, dass das Produkt aller Elemente 1 ist, also dass es im Allgemeinen gilt.

14.04.2011, 21:48

Karitemo

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hm, also eine Gruppe alleine kann die Ausnahme haben, dass ein Element das Inverse zu sich selbst ist dann überbleiben würde und daher ist es für diese Fall dann nötig, die Quadrierung zu haben, damit auch in diesem Fall "alle" bedient sind?!

Wo mich grade noch am rumlesen bin: Eine albesche Gruppe ist im Grunde das was ich bei der Modulorechnung dann als Restklasse besitze?

14.04.2011, 22:02

zweiundvierzig

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Vorab:
Es heißt abelsche oder kommutative Gruppe.

Zitat:

Original von Karitemo
hm, also eine Gruppe alleine kann die Ausnahme haben, dass ein Element das Inverse zu sich selbst is

Ja, das ist das, was schiefgehen kann.

tmo hat schon den richtigen Ansatz geliefert: $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G} g = \prod_{g \in G} g^{-1} \end{eqnarray*}$ . Was sagt das über die Produkte der Quadrate mit dem Wissen, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abelsch ist?

Zitat:

Original von Karitemo
Wo mich grade noch am rumlesen bin: Eine albesche Gruppe ist im Grunde das was ich bei der Modulorechnung dann als Restklasse besitze?

Wenn Du so fragst: Restklassengruppen sind natürlich abelsch, aber längst nicht alle (endlichen) abelschen Gruppen sind isomorph zu einer solchen Gruppe (siehe Hauptsatz über endlich erzeugte abelsche Gruppen) .

15.04.2011, 11:05

Mystic

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
tmo hat schon den richtigen Ansatz geliefert: $\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G} g = \prod_{g \in G} g^{-1} \end{eqnarray*}$ . Was sagt das über die Produkte der Quadrate mit dem Wissen, dass $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ abelsch ist?

Eine Spur besser würde mir gefallen, wenn man so argumentiert, dass

$\begin{eqnarray*} \prod_{g \in G} g = \prod_{\stackrel{g \in G}{g^2=1}} g \end{eqnarray*}$

da sich ja die nicht selbstinversen Elemente paarweise "auslöschen". Damit bleibt also bei der Produktbildung ein Element der Ordnung höchstens 2 über... Ein Element der Ordnung 2 kann es aber in Gruppen ungerader Ordnung nicht geben, womit für diese, wie von tmo schon bemerkt, die anschließende Quadrierung dann überflüssig ist...

Zitat:

Original von Karitemo
Wo mich grade noch am rumlesen bin: Eine albesche Gruppe ist im Grunde das was ich bei der Modulorechnung dann als Restklasse besitze?

Wenn du prime Restklassengruppen mod m meinst mit der Multiplikation mod m als Operation, so kann schon die zyklische Gruppe mit 3 Elementen (oder allgemeiner eine mit ungerader Primzahlordnung) so nicht erhalten werden.... Für die additive Gruppe aller Restklassen mod m wäre aber die Annahme, dass man so jede endliche abelsche Gruppe darstellen kann, ohnehin absurd, da man so nur zyklische Gruppen erhält...

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