Integral Stammfunktion ... |
| 24.09.2003, 19:58 | 164 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Integral Stammfunktion ... Ich habe ein Integral und zwar : 2x / (x^2+1)^2 dx wie bekomme ich von so einem Bruch jetzt die stammfunktion heraus? erstmal generell und dann am besten mit obiger aufgabe als beispiel... Danke im voraus ... 
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| 24.09.2003, 21:05 | DeGT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
2x / (x^2+1)^2 =2x*(1/(x^2+1)^2) =2x*(x^2+1)^-2 Jetzt kommt die partielle Integration: u(x)=2x u'(x)=2 v'(x)=(x^2+1)^-2 .....=(x^2+1)(x^2+1) .....=x^4+2x^2+1 v(x)=1/5x^5+2/3x^3+x 2x*(1/5x^5+2/3x^3+x)-Integral(2*(1/5x^5+2/3x^3+x))dx Ich hoffe, Du kannst den Rest alleine ausrechnen. Ich muss leider noch für MatheLK üben 
Wenn ich was falsch gemacht hab nicht :rolleyes:, ich kenn das auch erst seit heute und bin fertig (bemitleidet mich! :P ) |
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| 24.09.2003, 21:06 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi, also mal generell: S x^n dx = (1 / n + 1) * x ^ (n+1) S ist dabei das Integralzeichen. (ich hoff das stimmt jetzt auch so 
)Ok und bei der Aufgabe hier: S 2x / (x^2+1)^2 dx = S 2x / (x^4 + 2x^2 + 1) = x / (1/5 x^5 + 2/3x^3 + x) + C Müsste hinhauen, oder nicht? 
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| 24.09.2003, 21:26 | DeGT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich habe das Gefühl, mitlerweile das Stadium der völligen Verblödung erlangt zu haben. Mein Matheprog schmeißt nämlcih als Lösung -1/(x^2+1) aus. 
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| 24.09.2003, 22:09 | BlackJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
normal, ne? das von thomas ist nämlich auch ziemlich gut falsch. du kannst nicht einfach bei jedem x, das vorkommt, den exponenten hochzählen und dann den neuen exponenten drunterschreiben, das geht so einfach auch wieder nicht so einfach. in diesem falle würde ich mit partialbruchzerlegung arbeiten. moment, ich rechne es mal eben durch. |
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| 24.09.2003, 22:37 | BlackJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@thomas: man kann es doch mittels partieller integrstion regeln. allerdings hast du u und v etc. ziemlich unglücklich gewählt, vertausch das mal. wovon kann man wohl einfacher die stammfunction bilden, von 2x oder von (x^2+1)^(-2) ? :P {ups das heisst ja ^(-2) dann ist das doch gar nicht so einfach... normalerweise iwrd bei solchen aufgaben doch immer ein lösungsansatz mitgeliefert, oder?} ich has grade mal mittels partialbruchzerlegung probiert, aber dann ist mir aufgefallen dass es damit gar nicht geht X( |
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| 25.09.2003, 00:14 | 164 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich muss sagen jetz bin ich leicht verwirrt ^^ ist jetz eine der lösungen in einem der obigen posts richtig und wenn ja welche? 
Am besten mit erklärung wenn sich noch jemand dran versucht. Danke ... |
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| 25.09.2003, 14:44 | DeGT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
mit partieller Integration hab ichs ja auch versucht. -1/(x^2+1) dürfte richtig sein, ich weiß allerdings nicht, warum.
Bei meiner Rechnung ist der Rechenfehler klar. v'(x)=(x^2+1)^-2 .....=(x^2+1)(x^2+1) Da hab ich einfach mal das minus vergessen. |
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| 25.09.2003, 16:27 | 164 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm wo? das sieht genauso aus wie oben. aber mal in einzelnen schritten erklärt: 1. also ich rechne die klammer => (x^2+1)^2 im nenne aus und bekomme x^4+2x^2+1 heraus. das integriere ich dann und bekomme 1/5x^5+2/3x^3+x raus. so weit so gut. was passiert genau mit der 2x im zähhler? wenn ich die integriere hab ich ja theoratisch x^2. also: x^2 / 1/5x^5+2/3x^3+x so richtig? oben steht aber teilweise ja andere ansätze. ich ahb gerad nen tierisches brett vorm kopf und komm mit den aufgaben gerad net ganz klar. also was ist mit dem von mir oben geschriebenen? am besten erklären
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| 25.09.2003, 17:14 | fALK dELUXE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lösung! So, ich denk ich hab die Lösung: Wesentlich einfacher scheint mir die Lösung per Substitution zu sein: x = Wurzel(z - 1) => S[(2x) / z²] dx x' = dx / dz = 1/2 * (z-1)^(-1/2) => S[(2* Wurzel(z-1)) /( z² * 2 * Wurzel(z-1))] dz = S[1/z²]dz = -z^(-1) //Rücksubstiturieren = -1/(x² + 1) Wenn ich windows mal wieder starte, kann ich dass mal mit MathType machen, dann sieht das wohl übersichtlicher aus! |
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| 25.09.2003, 19:18 | BlackJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
scheisse, wieso bin ich nciht auf die substitution gekommen?!? damit geht das ja super-easy! edit: hier die herleitung: |
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| 25.09.2003, 20:03 | fALK dELUXE | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| lösungsansätze Im Prinzip gibt es doch nur 2 Möglichkeiten solche Integrale zu lösen: 1. Substitution 2. Produktintegration. Oder gibt es noch mehr Möglichkeiten(, abgesehen von den herkömmlichen integrationsgesetzen)? Ah, man kann ja auch manche Integrale auch über die Umkehrfunktion lösen! |
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| 25.09.2003, 20:16 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahso, naja wir haben gerade mal in der Schule mit unbestimmten Integralen angefangen und noch nicht mehr gemacht - sorry ich hab halt gedacht das kann man so damit lösen. Stimmt ja, bei der Ableitung muss man dann ja eh die Quotientenregel anwenden und dann würde es nicht funktionieren. Wenn wir das andere gelernt haben, kann ichs auch nochmal versuchen
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| 25.09.2003, 22:15 | BlackJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: lösungsansätze
das ist dann glaub ich die substitutionsmethode 2. art, die du meinst. hatten wir letztenz, hab ich aber wieder verdrängt. ich weiss nur noch dass man dann als grenzen g^-1(a) und g^-1(b) hatte. [g^-1(x) = umkehrfunktion von g(x), und nicht 1/g(x)!!!] p.s.: wir haben schon alle methoden behandelt (ok alle üblichen, keine ahnung ob es an der uni oder so noch andere gibt), das wären folgende: - partielle integration - integration durch substitution (1 & 2 art) - partialbruchzerlegung zu partialbruchzerlegung kann ich mal ein beispiel posten... gleich.. hier ein bspl (mal schauen wer es versteht
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| 26.09.2003, 17:35 | DeGT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmmmm... klingt interessant. Verstehen tue ich das aber nicht so komplett aus dem Stegreif. Hab heute grad eine Klausur übe Integration geschrieben. Mal sehen, wie es geworden ist.
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| 26.09.2003, 18:28 | BlackJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das ziel der partialbruchzerlegung ist es im prinzip nur, den nenner des bruches "aufzusplitten" (am besten in einen term den man direkt integrieren kann). und wenn man den nenner aufsplittet muss man natürlich auch den zähler dementsprechend umformen. bei dieser integrationsmethode muss man also nicht mit den integralen selbst rumwerkeln, sondern einfach nur ein paar algebraische umformungen an der funktion vornehmen (stoff der klasse 8 oder so). |
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| 26.09.2003, 19:00 | DeGT | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wunderbar, werden wir wohl hoffentlich auch bald behandeln. Aber erstmal sind Herbstferien.
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| 26.09.2003, 19:14 | BlackJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
herbstferien? seid ihr bekloppt? ich hab grad seit 2 wochen wieder schule! X( |
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| 26.09.2003, 19:43 | 164 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
habt ihr vielleicht irgend eine inet adresse oder pdf datei oder sonstiges, wo man sich die regeln und verfahren zur partiellen integration & integration durch substitution in ruhe nachlesen kann, am besten mit beispielen? |
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| 26.09.2003, 20:22 | Thomas | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zur partiellen Integration: http://home.debitel.net/user/anja.schiffers/partint.PDF Zur Integration durch Substitution: http://sites.inka.de/picasso/Hofheinz/integr.htm http://www.bauv.unibw-muenchen.de/instit...ripten/a5_4.pdf http://gymipro.de/Mathe/intsubst.htm Das ist was ich so gefunden habe
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| 18.03.2004, 20:44 | Mathe LK12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Integral was haltet ihr von F(x)=S x^2/(1-x^2)^(1/2) Vorschlag von mir wäre Susbstituion x:=sin(z) und dx:=cos(z)dz Das Problem ist das X^2 im Zähler. Wenns nur x wäre, kein Problem mit der normalen Substitution, aber so habe ich kein Ahnung. Wenn irgendjemand Maepel hat, kann er die Funktion mal kurz integrieren lassen. |
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| 18.03.2004, 21:15 | BlackJack | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ich habe mit MuPad folgende stammfunktion erhalten: allerdings bin ich im moment zu faul, mir selber gedanken zu machen (hey, es ist abend!) |
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