Sinusfunktion mit Steigung = 2 ?

14.04.2011, 23:23

Nerd347

Sinusfunktion mit Steigung = 2 ?

Meine Frage:
Halloo
Ich bin grad am Verzweifeln undzwar geht es um diese Fragestellung:

Gegeben sind die Funktionen f und g mit
f(x) = x+sin(x)
g(x)= x+cos(x)
Bestimme Punkte in denen die zugehörigen Graphen die Steigung 2 haben.

Meine Ideen:
Ich dachte dass es die Steigung höchstens 1 und mindestens -1 betragen kann ???? kann mir des vielleicht einer erklären ???

Muss man vllt. beides Ableiten, gleichsetzen und dann in x 2 einsetzen ??? wär des dann richtig ??

14.04.2011, 23:37

Pilot9

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Zitat:

Ich dachte dass es die Steigung höchstens 1 und mindestens -1 betragen kann ???? kann mir des vielleicht einer erklären ???

Würden die Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=sin~ x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=cos~ x \end{eqnarray*}$ heißen hättest du recht damit, tun sie in deinem Fall aber nicht. Augenzwinkern

Ableitung ist aber das richtige Stichwort, da die Ableitung die Steigung angibt. Also Ableitung bilden und dann mit dem Ansatz $\begin{eqnarray*} f'(x)=2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} g'(x)=2 \end{eqnarray*}$ .

14.04.2011, 23:47

Nerd347

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Achsoo

Aber ich verstehs mit dem Ansatz noch nicht.
--> wenn ich Ableite kommt ja :
f´(x) = 1+cos(x)
&
g´(x) =1-sin(x) raus !!??

bedeutet Ansatz dass ich jez x=2 einsetzen soll ??

15.04.2011, 00:03

Pilot9

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Nein du sollst gleichsetzen.

Also z.B. $\begin{eqnarray*} f'(x) = 1+cos(x) =2 \end{eqnarray*}$ und dann nach x auflösen. smile

15.04.2011, 00:08

Nerd347

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Achso jaa stimmt ; )

Danke Wink

15.04.2011, 00:13

Pilot9

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Gerne.

15.04.2011, 00:25

Nerd347

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Ich wollte noch mal schnell fragen ob es dann so richtig ist :

--> f´(x): cos (x) = 1
--> es gilt für cos (0) =1
--> Steigung 2 im Punkt P ( 0 / 1 ) ??????

--> g´(x): -sin(x) = 1
--> es gilt für -sin(4,7) = 1
--> Steigung 2 im Punkt Q ( 4,7 / 1 ) ??????

Gott

danke im Vorraus ; )

15.04.2011, 02:12

Pilot9

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Bedenke, dass die Cosinusfunktion periodisch verläuft mit der Periode $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ . Das heißt alle $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ ist der Anstieg wieder 2. Allgemein: $\begin{eqnarray*} x=k*2\pi \end{eqnarray*}$

Beim Sinus ebenso. Bei $\begin{eqnarray*} \frac{3\pi }{2} \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung erfüllt aber ebenso bei jedem $\begin{eqnarray*} k*2\pi -\frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$ , mit k als eine natürliche Zahl.

Für k=1 kommt dein Ergebnis raus.

Die Punkte stimmen nur zum Teil.

Zitat:

--> Steigung 2 im Punkt P ( 0 / 1 ) ??????

für k=0 ist das Ergebnis richtig. Für k=1 schon nicht mehr.

Zitat:

--> Steigung 2 im Punkt Q ( 4,7 / 1 ) ??????

Stimmt leider garnicht. Um die y-Koordinate zu bekommen musst du den x-Wert in $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ einsetzen.

15.04.2011, 07:17

Nerd347

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Ich versteh überhaput nichts mehr ..... egal ich lass es jez einfach traurig

aber trotzdem danke Wink

15.04.2011, 17:42

Pilot9

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Nicht aufgeben. Freude

Hier mal deine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=x+sin~x \end{eqnarray*}$

An der Stelle x=0 hat die Funktion einen Anstieg von 2. Setzt du das jetzt in deine FUnktion f(x) ein, dann bekommst du den Punkt an dem dieser Anstieg vorhanden ist.

$\begin{eqnarray*} f(0)=0+sin~0=0+0=0 \end{eqnarray*}$

Damit bekommst du als Lösung für dein Problem den Punkt P(0/0).

Wenn du dir den Graphen der Funktion jetzt nochmal anschaust, dann siehst du, dass rechts und links davon, nochmal 2 Stellen sind, die exakt so aussehen und den selben Anstieg haben. Das hängt wie gesagt damit zusammen, dass die Gleichung
$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos~x=1 \end{eqnarray*}$ Mehrere Lösungen hat.

Einmal für x=0. Aber für $\begin{eqnarray*} x=2\pi \end{eqnarray*}$ ist die Gleichung auch erfüllt, oder anders gesagt für $\begin{eqnarray*} x=1*2\pi \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} x=4\pi \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x=2*2\pi \end{eqnarray*}$ ebenfalls. x=0 kannst du auch als $\begin{eqnarray*} x=0*2\pi \end{eqnarray*}$ auffassen und damit siehst du, jede dieser Lösungen erfüllt deine Gleichung.

Und um jetzt alle Punkte anzugeben, müsstest du prinzipiell wie oben verfahren.

$\begin{eqnarray*} f(2\pi)=2\pi+sin~(2\pi)=2\pi+0=2\pi \end{eqnarray*}$

Hier bekommst du den Punkt $\begin{eqnarray*} P(2\pi/2\pi) \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} x=4\pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(4\pi)=4\pi+sin~(4\pi)=4\pi+0=4\pi \end{eqnarray*}$

Punkt: $\begin{eqnarray*} P(4\pi/4\pi) \end{eqnarray*}$

Du siehst also, die x- und y-Koordinate des Punktes sind jeweils Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ , also kannst du den Punkt, an dem die GLeichung den Anstieg 2 hat allgemein als $\begin{eqnarray*} P(k*2\pi/k*2\pi) \end{eqnarray*}$ angeben.

$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ übernimmt hier eben nur die Funktion als Parameter, um die Vielfachen von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ zu keinzeichnen und kann jede Ganze Zahl als Wert annehmen. k=...-2;-1;0;1;2...

Und damit hast du dann die entsprechende Lösungsmenge.

Ich hoffe es ist jetzt etwas klarer und noch viel mehr hoffe ich, dass du nochmal hier rein guckst, sonst hab ich ja alles umsonst geschrieben. Augenzwinkern

08.05.2011, 13:36

Nerd347

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oohh sry ... wusste nicht dass du zurückgeschrieben hast Hammer

aber jetzt hab ich es auf jedenfall verstanden hab auch in der schule nochmal nachgefragt ...

danke VIEEEELLMALLSS für die ganze Mühe ; )

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