Volumen Produktmenge

14.04.2011, 23:41

Gast11022013

Volumen Produktmenge

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} M\subseteq \mathbb R^m \end{eqnarray*}$ eine k-dimensionale und $\begin{eqnarray*} N\subseteq \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Weiter seien $\begin{eqnarray*} A\subseteq M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\subseteq N \end{eqnarray*}$ integrierbare Teilmengen.

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ ist eine integrierbare Teilmenge der (k+l)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $\begin{eqnarray*} M\times N\subseteq \mathbb R^{m+n} \end{eqnarray*}$ und es gilt
$\begin{eqnarray*} vol_{k+l}(A\times B)=vol_k(A)vol_l(B) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe mir Folgendes überlegt.

$\begin{eqnarray*} A\subseteq M \end{eqnarray*}$ integrierbar, falls $\begin{eqnarray*} \chi_A(x) \end{eqnarray*}$ integrierbar über M.
$\begin{eqnarray*} B\subseteq N \end{eqnarray*}$ integrierbar, falls $\begin{eqnarray*} \chi_B(x) \end{eqnarray*}$ integrierbar über N.

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \chi_A\times \chi_B \end{eqnarray*}$ integrierbar über $\begin{eqnarray*} M\times N \end{eqnarray*}$ .

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} A\times B\subseteq M\times N \end{eqnarray*}$ integrierbar ist.

Beim Rest bin ich unsicher:

$\begin{eqnarray*} vol_{k+l}(A\times B)=\int_{A\times B} dS(x)\times dS(x)=\int_{A\times B} (dS(x))^2=\int_A \int_B (dS(x))^2=\int_A dS(x) \int_B dS(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =vol_k(A)vol_l(B) \end{eqnarray*}$

Ich vermute, dass da irgendwo was nicht stimmt.
Ich habe es dennoch einfach mal aufgeschrieben.

15.04.2011, 19:47

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Hat schon jemand mal darüber geguckt und kann mir behilflich sein?

[Diese Aufgabe würde mir stolze 5 Punkte bringen.]

16.04.2011, 17:42

Mikexx

Auf diesen Beitrag antworten »

Also den ersten Teil hätte ich auch so gemacht.

Bei dem zweiten Teil habe ich eine Idee, aber ob sie stimmt, weiß ich nicht!
Können das bitte andere User bestätigen oder widerlegen? Danke!

Ich würde sagen:
Ist nicht $\begin{eqnarray*} \chi_{A\times B}=\chi_A \chi_B \end{eqnarray*}$ ?

Sodass dann mit der Definition

$\begin{eqnarray*} vol_{k+l}(A\times B)=\int_{M} \chi_{A\times B} dS=\int_{M} \chi_A \chi_B dS=\int_M \chi_A dS \int_M \chi_B dS=vol_k(A)vol_l(B) \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, das ist nur eine Idee.

16.04.2011, 18:05

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee, dass evtl. $\begin{eqnarray*} \chi_{A\times B}=\chi_A \chi_B \end{eqnarray*}$ ist, kann ich nicht beurteilen und stimmt ja vielleicht.

Aber der Rest ist so nicht richtig, denn nach Definition müsste es sein:

$\begin{eqnarray*} vol_{k+l}(A\times B)=\int_{M\times N} \chi_{A\times B} dS \end{eqnarray*}$

Wenn Du Recht hast, ginge es dann weiter mit:

$\begin{eqnarray*} =\int_{M\times N} \chi_A \chi_B dS= . . .? \end{eqnarray*}$

Bei dem Rest bin ich unsicher!

Mal eine Frage: Braucht man hier den Satz von Fubini?

$\begin{eqnarray*} vol_{k+l}(A\times B)=\int_{M\times N} \chi_{A\times B} dS(x)\times dS(y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_{M\times N} \chi_A \chi_B dS(x)\times dS(y)=\int_M \int_N \chi_A \chi_B dS(y) dS(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_M \chi_A \underbrace{\int_N \chi_B dS(y)}_{=vol_l(B)} dS(x)=vol_l(B)\int_M \chi_A dS(x)=vol_l(B) vol_k(A) \end{eqnarray*}$ .

Hey Leute, helft mir mal bitte, ich werd ja gleich wahnsinnig an dieser Aufgabe!
Hammer

17.04.2011, 10:57

Theodora

Auf diesen Beitrag antworten »

Das letzte mit Fubini sieht für mich gut aus.

Ich verstehe auch nicht, wieso nichtmal einer von denen, die das eh gut können, eben ja oder nein sagt und ein bisschen dir hilft!

17.04.2011, 12:18

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, liebe Matheboardler!

Ich habe nochmal alles ein bisschen überdacht und schreibe meine Idee hier auf. Es hat sich ein bisschen abgeändert. Ich bitte euch inständig, dass ihr mir helft, denn dies könnte mich sehr wichtige Punkte kosten.

Also, zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ ist eine integrierbare Teilmenge des (k+l)-dimensionalen Untermannigfaltigkeit $\begin{eqnarray*} M\times N\subset \mathbb R^{m+n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} vol_{k+l}(A\times B)=vol_k(A)vol_l(B) \end{eqnarray*}$ .

Beweis(idee):

$\begin{eqnarray*} A\times B \end{eqnarray*}$ ist ja integrierbar, falls die charakteristische Funktion $\begin{eqnarray*} \chi_{A\times B} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} M\times N \end{eqnarray*}$ integrierbar ist.
Deswegen habe ich mir das in etwa so gedacht:

Nach Definition ist $\begin{eqnarray*} vol_{k+l}(A\times B)=\int_{M\times N} \chi_{A\times B} dS(x)\times dS(y) \end{eqnarray*}$ -ich hoffe, dass das so korrekt ist.

Außerdem ist $\begin{eqnarray*} \chi_{A\times B}=\chi_A \chi_B \end{eqnarray*}$ - auch hier hoffe ich, dass das stimmt.

So, dann mache ich hiermit weiter wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \int_{M\times N} \chi_{A\times B} dS(x)\times dS(y)=\int_{M\times N} \chi_A \chi_B dS(x)\times dS(y)=\int_N \int_M \chi_A \chi_B dS(x)ds(y) \end{eqnarray*}$

[Ich habe hier Fubini benutzt.]

$\begin{eqnarray*} =\int_N \chi_B \int_M \chi_A dS(x)dS(y)=vol_k(A)\int_N \chi_B dS(y)=vol_k(A)vol_l(B)=\int_M \chi_A dS(x) \cdot \int_N \chi_B dS(y) \end{eqnarray*}$

Die letzten beiden Integrale gibt es ja, weil ja nach Voraussetzung A und B jeweils integrierbare Teilmengen sind.

Damit ist $\begin{eqnarray*} \chi_{A\times B} \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} M\times N \end{eqnarray*}$ integrierbar, was ich ja zeigen musste und nebenbei hat man auch gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} vol_{k+l}=vol_k(A)vol_l(B) \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, ich habe nicht totalen Blödsinn produziert.
Sehr sicher bin ich mir da nicht, denn ich neige dazu ... Augenzwinkern

Eine Reaktion von Euch wäre sehr toll und würde mich wirklich weiterbringen!

17.04.2011, 14:37

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} dS(x)\times dS(y) \end{eqnarray*}$
bezeichnet hoffentlich das Produktmaß.

$\begin{eqnarray*} \chi_{A\times B}=\chi_A \chi_B \end{eqnarray*}$
schreib lieber
$\begin{eqnarray*} \chi_{A \times B}(a,b) = \chi_A(a)\chi_B(b) \end{eqnarray*}$
sonst könnte man das evtl. verwechseln mit
$\begin{eqnarray*} \chi_{A \times B}(a,b) = \chi_A(a,b)\chi_B(a,b) \end{eqnarray*}$
welches keinen Sinn ergibt.
Ansonsten sieht alles ok aus. Schön wäre vielleicht eine Begründung wieso Fubini anwendbar ist.

mfg

17.04.2011, 14:48

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sergej88
$\begin{eqnarray*} dS(x)\times dS(y) \end{eqnarray*}$
bezeichnet hoffentlich das Produktmaß.

Ja, das meinte ich schon, aber ich war mir unsicher, wie ich das bezeichnen soll, denn hier hat man ja dieses dS(x) bzw. dS(y) und nicht wie im Satz von Fubini dx oder dy.
Ich habe dazu aber nochmal eine generelle Frage:
Dieses dS ist doch eigentlich das Flächenmaß - oder? Kann man es bei diesen Integralsätzen wie z.B. Fubini wie dx behandeln, was da sonst immer bei Integralen steht?

Mit anderen Worten: Ist das dS(x) bzw. dS(y) hier einfach ein Maß - genauso wie dx und dy?
[Entschuldigung, wenn ich mich etwas schwammig ausdrücke - ich hoffe, man versteht das, was ich fragen möchte.]

Sollte ich also lieber $\begin{eqnarray*} dS(x,y) \end{eqnarray*}$ schreiben?

Zitat:

Original von serej88
Schön wäre vielleicht eine Begründung wieso Fubini anwendbar ist.

Weil $\begin{eqnarray*} \chi_A(a)\chi_B(b) \end{eqnarray*}$ immer größer/gleich 0 sind?

[Bei Wikipedia steht das so, dass es bei meßbaren, positiven Funktion so ist, dass man Fubini anwenden kann.]

mfg[/quote]

17.04.2011, 15:59

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr werdet sicher gezeigt haben, dass das Oberflächenmaß auch wirklich ein Maß ist. Und dieses brauchst du gerade um solche Sätze zu verwenden...

Das mit Fubini anwenden ist ok aus meiner Sicht.

mfg

17.04.2011, 16:27

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit anderen Worten:
Ja, dS(x) bzw. dS(y) kann man genauso behandeln wie ich sonst das dx bzw. dy behandelt habe?

17.04.2011, 16:51

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst diese so behandeln, wie ihr es gelernt habt allgemeine Maße zu behandeln.
$\begin{eqnarray*} dx,dy... \end{eqnarray*}$
bezeichnen in der Regel ja Lebesgue Maße. Diese haben aber auch ihre eigenen Speziellen Eigenschaften, welche ja im allgemeinen nicht gelten müssen...

mfg

17.04.2011, 16:55

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich tu mich ein bisschen schwerdamit, weil wir haben sowas in den Vorlesungen nie besprochen. Wohl, weil der Professor sowas voraussetzt.

Also sind dS(x) bzw. dS(y) ebenso spezielle Maße wie auch dx bzw. dy.

Aber beide kann man (z.B. im Satz von Fubini, indem man Produktmaße daraus macht) gleichermaßen behandeln. Ich kann also zum Beispiel genauso für das Produktmaß dS(x,y) schreiben, wie ich bei dx, dy schreiben würde: d(x,y).

Habe ich das jetzt richtig verstanden?

Im Grunde will ich nur sicher gehen, ob meine Lösung nach Deinen Verbesserungen jetzt so abgegeben werden kann.

17.04.2011, 16:59

sergej88

Auf diesen Beitrag antworten »

Abgegeben ja,

aber wie Ihr Produktmaße und ähnliche Sachen notiert kann ich dir nicht sagen.

Aber wenn das Oberflächenmaß ein Maß ist, so kann man mit diesem ja rechnen wie man es in der Maßtheorie lernt. Entsprechend auch das Produktmaß bilden und so weiter. Es reicht doch, wenn du dazuschreibst was du mit welcher Notation meinst; in der Regel kommt es dann auch zu keinen Missverständnissen.

17.04.2011, 17:03

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke Dir für Deine Hilfe.
Ich bin froh, dass es hier Menschen wie Dich gibt. Wink

Neue Frage »

Antworten »

Volumen Produktmenge

Verwandte Themen