"Körpergruppen" [ÜAB]

15.04.2011, 01:07

tigerbine

"Körpergruppen" [ÜAB]

Zitat:

Warum gibt es keinen Körper mit $\begin{eqnarray*} (K,+) \cong (K\setminus\{0\},\cdot) \end{eqnarray*}$ ?

In endlichen Körpern würde ich versuchen über die nicht Gleichmächtigkeit zu argumentieren. Vielleicht versperrt mir das aber auch den Blick auf den Kern der Sache. Wenn es einen Homomorphismus zwischen den beiden Gruppen gilt, dann muss gelten

$\begin{eqnarray*} \phi(0)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \phi(a+b)=\phi(a)\cdot \phi(b) \end{eqnarray*}$

Nun ist die Frage, scheitert man mit injektiv oder surjektiv. Injektiv bedeutet dann, dass der Kern nur aus {1} besteht... Hier hört es erst mal auf mit den Ideen.

Schubsen erlaubt.

15.04.2011, 08:20

Mystic

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RE: "Körpergruppen" [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine

Zitat:

Warum gibt es keinen Körper mit $\begin{eqnarray*} (K,+) \cong (K\setminus\{0\},\cdot) \end{eqnarray*}$ ?

Einen sofortigen Widerspruch sehe ich im Moment nur für Körper der Charakteristik p, denn aus der Isomorphie $\begin{eqnarray*} (K,+) \cong (K \setminus \{0\},\cdot) \end{eqnarray*}$ und pa=0 würde sofort folgen

$\begin{eqnarray*} a^p=1 \quad (a \in K \setminus \{0\}) \end{eqnarray*}$

und das geht schon mal gar nicht, da ja $\begin{eqnarray*} x \mapsto x^p \quad (x \in K) \end{eqnarray*}$ bekanntlich ein Automorphismus von K ist...

Ich vermute, dass ein ähnlich einfaches Argument auch für Körper der Charakteristik 0 gilt, aber das fällt mir im Moment nicht ein... verwirrt

15.04.2011, 08:35

zweiundvierzig

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Spontan würde ich sagen, dass man im Fall von Charakteristik 0, also Primkörper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , den Isomorphismus auf $\begin{eqnarray*} (\mathbb Q, +) \cong (\mathbb Q^\times, \cdot) \end{eqnarray*}$ einschränken könnte. Und da gibt es einen kleinen Trick, um zu zeigen, dass das nicht geht.

15.04.2011, 11:16

Mystic

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Wie ich oben schon vermutet habe, geht das auch für Körper der Charakteristik 0 (eigentlich sogar für Körper der Charakteristik $\begin{eqnarray*} \ne 2 \end{eqnarray*}$ ) ganz einfach... Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ hat nämlich immer 2 Lösungen, die entsprechende Gleichung $\begin{eqnarray*} 2x=0 \end{eqnarray*}$ in der additiven Gruppe aber nur eine... Augenzwinkern

Edit: Man kann sogar den Fall der Charakteristik 2 noch dazunehmen, indem man dann umgekehrt so argumentiert, dass die Gleichung 2x=0 dann in der additiven Gruppe alle Elemente von K als Lösungen hat, die entsprechende Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ in der multiplikativen Gruppe aber nur die Lösung 1... Es ist also wirklich alles sehr einfach, wenn man sich das "von der richtigen Seite her" überlegt... Augenzwinkern

15.04.2011, 17:16

tmo

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RE: "Körpergruppen" [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Nun ist die Frage, scheitert man mit injektiv oder surjektiv.

Für sich alleine ist übrigens beides möglich, wie
$\begin{eqnarray*} exp: \mathbb R \to \mathbb R^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} exp: \mathbb C \to \mathbb C^* \end{eqnarray*}$ zeigen.

Beides sind Gruppenhomomorphismen, der erstere ist injektiv, der zweite ist surjektiv.

16.04.2011, 16:06

tigerbine

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Zitat:

Original von Mystic
Wie ich oben schon vermutet habe, geht das auch für Körper der Charakteristik 0 (eigentlich sogar für Körper der Charakteristik $\begin{eqnarray*} \ne 2 \end{eqnarray*}$ ) ganz einfach... Die Gleichung $\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$ hat nämlich immer 2 Lösungen, die entsprechende Gleichung $\begin{eqnarray*} 2x=0 \end{eqnarray*}$ in der additiven Gruppe aber nur eine... Augenzwinkern

Also ihr greift gar nicht direkt den Isomorphismus an, sondern überlegt, dass wenn die Gruppen isomorph sind, sie "gleiche Probleme" auch "gleich lösen" müssen.

Freude

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