Dimension vom Bild einer linearen Abbildung

15.04.2011, 14:27

Douglas

Dimension vom Bild einer linearen Abbildung

Hallo!
Folgende Aufgabe:
Man soll $\begin{eqnarray*} dim Bild(\varphi) \end{eqnarray*}$ der lin. Abbildung:
$\begin{eqnarray*} \varphi : \mathbb R ^{3\times 2} \rightarrow \mathbb R ^{2\times 2} , X\longmapsto\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 3 & -3 & 9 \end{pmatrix}X \end{eqnarray*}$ bestimmen.

Ich komme jedes Mal auf $\begin{eqnarray*} dim Bild(\varphi)=1 \end{eqnarray*}$ .
In der Musterlösung steht allerdings $\begin{eqnarray*} dim Bild(\varphi)=2 \end{eqnarray*}$

danke schonmal für die hilfe

15.04.2011, 14:42

Mazze

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2 ist richtig, aber ohne zu sehen, was Du gerechnet hast, kann man Dir schwerlich helfen.

15.04.2011, 14:52

Douglas

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Naja, die Dimension des Bildes ist ja die Menge der Spaltenvektoren. X ist eine 3x2 Matrix mit beliebigen Einträgen. Es kommt eine 2x2 Matrix raus, deren Spaltenvektoren jedoch linear abhängig sind also $\begin{eqnarray*} Bild(\varphi)=<\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$

Es ist ja klar, dass eine 2x2 Matrix zwei Spaltenvektoren hat, aber ist dim nicht die Menge der lin. unabhängigen Spaltenvektoren, oder auch Rang der Matrix (Rang ist ja auch 1) ?

Irgendwo ist mein Denkfehler :-)

15.04.2011, 14:57

Mazze

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} Bild(\varphi)=<\begin{pmatrix} 1\\ 3 \end{pmatrix} > \end{eqnarray*}$

Das ergibt keinen Sinn. Diese Abbildung bildet Matrizen auf Matrizen ab. Wie soll dann das Erzeugnis eines Zeilenvektors gleich dem Bildraum sein?

Zitat:

Es ist ja klar, dass eine 2x2 Matrix zwei Spaltenvektoren hat, aber ist dim nicht die Menge der lin. unabhängigen Spaltenvektoren, oder auch Rang der Matrix (Rang ist ja auch 1) ?

Das gilt ertsmal nur wenn Du eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^n \end{eqnarray*}$ betrachtest. Denn wie sollen die Spalten der Matrix auch nur annähernd eine Basis der 2x2 Matrizen bilden? Die liegen ja nichtmal im gleichen Raum.

15.04.2011, 15:09

Douglas

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Ahh, klar. OK weiß jetzt wo der Fehler war.
Aber wie bestimme ich nun das Bild?

Mein Ansatz wäre :
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 3 & -3 & 9 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\ c_1 & c_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a_1-b_1+3c_1) & (a_2-b_2+3c_2) \\ 3(a_1-b_1+3c_1) & 3(a_2-b_2+3c_2) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist aber vermutlich nicht richtig...

15.04.2011, 15:12

Mazze

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Zitat:

ist aber vermutlich nicht richtig...

So hab ichs auch gemacht. Wenn man dann

$\begin{eqnarray*} z_1 = a_1 - b_2 + 3c_3 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} z_2 = a_2 - b_2 + 3c_3 \end{eqnarray*}$

setzt , erhält man etwas übersichtlicher

$\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 1z_1 & 1z_2 \\ 3z_1 & 3z_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt musst Du nur noch die maximale Anzahl an linear unabhängigen Matrizen finden, so dass Matrizen vom Typ A damit erzeugt werden. (und siehe da, diese Zahl ist 2 Augenzwinkern

)

15.04.2011, 15:25

Douglas

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Zitat:

Jetzt musst Du nur noch die maximale Anzahl an linear unabhängigen Matrizen finden, so dass Matrizen vom Typ A damit erzeugt werden. (und siehe da, diese Zahl ist 2 )

Wie mache ich das den? smile

Sorry für so dämliche Fragen, aber... mit Vektoren hätte ich kein Problem, aber bei Matrizen sehe ich das irgendwie nicht...

15.04.2011, 15:32

Mazze

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Zitat:

mit Vektoren hätte ich kein Problem, aber bei Matrizen

Matrizen sind auch nur Vektoren, nämlich Vektoren des Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}^{n \times m} \end{eqnarray*}$ . Die genaue Definition eines Vektors ist nicht, dass es ein Zeilenvektor ist sondern :

Vektoren sind Elemente eines Vektorraumes. Da sieht man nirgends was von Zeilen oder Spalten. Interessant wird das dann bei Funktionen- und Folgenräumen, die auch Vektorräume bilden können. Dann sind etwa Funktionen Vektoren.

Zwei Vektoren v und w heissen linear unabhängig , wenn

$\begin{eqnarray*} \lambda v + \mu w = 0 \end{eqnarray*}$ nur die Lösung Lambda/Mü = 0 zulässt. Für deine Matrizen ist :

Lambda, Mü kommen aus den reellen Zahlen (der Grundkörper des VR)
Die Addition ist definiert als Elementweise Addition.
Die skalare Multiplikation ist als Multiplikation des Faktors mit jedem Element der Matrix.

Damit erzähl ich dir nix neues. Als Beispiel : Die Standardbasis der 2x2 Matrizen ist :

$\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

sprich, der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{2 \times 2} \end{eqnarray*}$ ist 4-Dimensional.

15.04.2011, 15:46

Douglas

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Ah ok, also heißt das den Lambda/Mü wären in dem Fall
$\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ ?

und die Basis wäre : $\begin{eqnarray*} \left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

??? oder hab ich wieder etwas falsch verstanden?

15.04.2011, 15:48

Mazze

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Die Basis ist richtig, und $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \end{eqnarray*}$ sind Zahlen aus dem Grundkörper, der dem Vektorraum zugrunde liegt, in unserem Fall reelle Zahlen.

Übrigens kann man reelle Zahlen auch als Elemente des Vektorraumes $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^1 \end{eqnarray*}$ auffassen.

15.04.2011, 15:49

Douglas

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JA, hab es grad gesehen und editiert ^^

OK, vielen vielen Dank! Ich glaub, ich habs Verstanden Freude

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