Isomorphie nachweisen |
15.04.2011, 15:11 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Isomorphie nachweisen komme bei der folgenden Aufgabe nicht wirklich weit: Prüfen Sie, ob folgende Gruppen isomorph sind: und für . Den Homomorphiesatz soll ich bei dieser Aufgabe nicht verwenden. Nun die beiden Mengen sind gleichmächtig, denn . Nun benötige ich eine Abbildungsvorschrift. Allerdings weiß ich nicht wie man hier eine geschickt findet .... Hat da jemand einen Tipp für mich? Schönen Gruß Pustefix91 |
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15.04.2011, 15:25 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man die 1 mal vergisst sind doch in G bereits Abbildungen auf einer (n-1)-elementigen Menge |
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15.04.2011, 15:27 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, das stimmt. Allerdings weiß ich nicht, wie ich die "1" durch eine Abbildungsvorschrift verschwinden lassen kann. |
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15.04.2011, 15:29 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Beschreibe einmal das Bild einer beliebigen Abbildung sigma aus G. Wie sieht diese Funktion aus? |
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15.04.2011, 15:37 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm wie genau meinst du das? Also z.B so? Dabei wird einfach nur die 1 und n vertauscht, der Rest bleibt identisch. |
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15.04.2011, 15:38 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das hat für mich nicht viel mit der Aufgabe zu tun? Nehmen wir doch einmal n=5 und als Sigma nehmen wir (1)(23)(45). Wie würdest du das in die S_{n-1} abbilden? |
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15.04.2011, 15:42 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na ja ich würde einfach nur (23)(45) stehen lassen. Aber das ist ja noch keine Vorschrift. |
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15.04.2011, 15:53 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Doch, klar ist das ne Vorschrift. Es ist die Vorschrift: . Oder wenn du {1,...,n-1} als Grundmenge haben willst, dann eben mit |
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16.04.2011, 10:42 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ehrlich gesagt tue ich mich gerade schwer das zu verstehen... Also ich betrachte noch Mal aus G. Wenn ich das nun in die Funktion einsetze ehrhalte ich doch folgendes: Also insgesamt: . Oder sehe ich das falsch? Schönen gruß Pustefix91 |
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16.04.2011, 11:18 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, du hast genau dieselben Zykelstruktur aber alle Zahlen wurden eben um 1 verringert |
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16.04.2011, 11:23 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok. Muss ich denn nicht noch nachweisen, dass diese Abbildung wohldefiniert ist? Falls ja, wie mache ich das denn? Normalerweise ist es doch so, man wählt zwei Elemente aus der Grundmenge, sagen wir x,y mit x = y und zeigt das auch f(x) = f(y) gilt. Falls ich das hier machen muss, wie stelle ich das denn an? Die Abbildung hängt ja von dem jeweiligen Zykel aus G ab.... Das ist mir noch nicht ganz klar. |
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16.04.2011, 12:22 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum solltest du wohldefiniert zeigen müssen? Hier haben wir doch keine Repräsentanten oder ähnliches. Was du zeigen musst, ist dass dies tatsächlich ein Isomorphismus ist. Das ist aber nur langweiliges Nachrechnen, durch die Umbennung i |-> i-1 ein wenig schwerer |
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16.04.2011, 12:47 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm mir bereitet es schon Schwierigkeiten nachzuweisen, dass es sich um einen Homomorphismus handelt: Seien . Dann gilt: und . Irgendwie habe ich die Vermutung, dass das so gar nicht stimmt. Was mache ich denn da falsch? |
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16.04.2011, 12:51 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn nicht klar ist, ob die Abbildung eine Abbildung ist muss man wohldefiniert zeigen. Dein zweite Term macht keinen Sinn, warum verknüpfst du dann nachher einfach mit +? Du musst vielmehr berechnen. |
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16.04.2011, 13:33 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, stimmt. Das plus macht keinen Sinn. . Hm und da hörts schon wieder auf. Wie geht es nun weiter? Ich muss doch zeigen, dass oder sehe ich das falsch? |
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16.04.2011, 13:37 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber du hast doch gerade diesen Term bereits für berechnet... edit: Der erste Term nach dem = macht bei dir keinen großen Sinn edit2: Deine erste Rechnung hat auch einen Fehler, schaue dir beide nochmal genau an. Ich sollte nicht nur aufs Ergebnis schauen |
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16.04.2011, 15:40 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok. Noch mal. und . So müsste es stimmen oder? |
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16.04.2011, 16:17 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Noch eine Schönheitskorrektur. Den Ausdruck gibt es nicht, sondern . Aber sonst stimmt es. |
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16.04.2011, 16:39 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok. Danke dir. Nun muss ich noch nachweisen das es sich auch noch um einen Isomorphismus handelt. Also zunächst verusuche ich zu zeigen, dass die Abbildung injektiv ist: Seien Sei nun beliebig. Es gilt: Da i beliebig gewählt war. Surjektiv: Sei Sei beliebig. Dann gilt: Hm wie mache ich nun hier weiter? Irgendwie kommt mir das auch sehr seltsam vor. |
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16.04.2011, 17:31 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die 1 hast du vergessen
Du solltest zunächst einmal ein konkretes Sigma angeben! Das ist doch bisher gar nicht definiert worden von dir. |
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16.04.2011, 17:41 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm welche Auswirkung hat die 1 denn bei meiner Implikation?
Du solltest zunächst einmal ein konkretes Sigma angeben! Das ist doch bisher gar nicht definiert worden von dir.[/quote] Wie meinst du das? Soll ich z.B (23)(45) als Sigma konkret wählen? Man muss das doch für alle Sigma zeigen... |
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16.04.2011, 18:39 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja ist halt eine schlampige Folgerung wenn du die 1 nicht wenigstens erwähnst. Das die Bilder der 1 gleich sind liegt aber bereits an der definition von G. Du musst das Sigma natürlich in Abhängigkeit von Sigma Schlange angeben. |
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16.04.2011, 19:02 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also: und für . So korrekt? |
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16.04.2011, 19:43 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Rechne es doch nach ob es stimmt |
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17.04.2011, 07:55 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, doch das müsste so stimmen. Also: Surjektiv: Sei mit und . Somit ist die Funktion surjektiv. Ist das so richtig? |
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17.04.2011, 10:59 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein das passt so nicht. Was soll das sigma in der ersten Folgerung sein? Fange so an: Sei Wir definieren mit .... Es gilt dann ... |
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17.04.2011, 15:56 | Pustefix91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sei . Wir definieren mit und für . Also existiert für jedes ein für . Somit ist die Funktion surjektiv. Hoffentlich stimmt es nun. |
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