Gleichungen Komplexe Zahlen

15.04.2011, 18:30

Lara1111

Gleichungen Komplexe Zahlen

Meine Frage:
Hallo smile

Ich habe Probleme einen wirklichen Lösungsweg bei folgender Aufgabe zu finden:

(8-5i)z+(-4+2i)=z

Meine Ideen:
Also klar ist ja schon einmal, dass die Klammern ausmulipliziert werden:

8z-5iz-4+2i=z

Nun muss man die Gleichung sicher umstellen. Ich weiß aber nicht wirklich weiter...Vielleicht muss man die Gleichung erweitern?

Ich bräuchte dringend Hilfe.

15.04.2011, 18:46

Cel

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Hallo,

nun, du musst z isolieren. Pack also alles mit z nach links, den Rest nach rechts. Dann links ausklammern und dann ... ?

15.04.2011, 19:04

Lara1111

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Ok...

Dann habe ich erst einmal folgende Gleichung:

7z-5iz = 4-2i

Und nun soll ausgeklammert werden auf der linken Seite, also vielleicht so:

z (7-5i)= 4-2i

Geht es nun vielleicht so weiter:

z= 4-2i / 7-5i

Wenn ich das ausrechne, komme ich auf:

z= 19/37 + 3/37i (Ich bin mir aber unsicher)

Danke trotzdem schon mal für die Hilfe.

15.04.2011, 19:08

Cel

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Zitat:

Original von Lara1111
Geht es nun vielleicht so weiter:

z= 4-2i / 7-5i

Wohl eher z = (4-2i)/(7-5i). Vergiss nie die Klammern! Das, was du schreibst, ist was ganz anderes als das, was du meinst! Trotzdem: Richtig.

Zitat:

Original von Lara1111

Wenn ich das ausrechne, komme ich auf:

z= 19/37 + 3/37i (Ich bin mir aber unsicher)

Ich komme da auch drauf. Was nicht sofort heißt, dass es richtig ist, aber wahrscheinlich ist es schon. Mach noch mal die Probe, dann siehst du es auch noch mal. Augenzwinkern

15.04.2011, 19:31

Lara1111

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Sehr gut, danke smile

Ich hätte gleich noch eine Frage!

Und zwar habe ich noch eine Gleichung, die wie folgt lautet:

z²+(6+2i)z+(9+6i)=0

Daraus ergibt sich:

z²+6z+2iz+9+6i=0

Nun bringe ich alles auf die richtige Seite:

z²+6z+2iz= -9-6i

Nun klammere ich z aus:

z (z+6+2i) = -9-6i

Nun habe ich ja noch ein z in der Klammer stehen. Was mache ich damit?

15.04.2011, 20:11

Cel

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Hier ist das ein bisschen anders. Was ich machen würde: Setze $\begin{eqnarray*} z = a+ b \cdot \mathrm{i} \end{eqnarray*}$ (und zwar in der Gleichung z²+6z+2iz= -9-6i), multipliziere aus und ordne nach Real- und Imaginärteil. Vergleiche dann die linke mit der rechten Seite, um a bzw. b zu errechnen. Der Realteil muss gleich -9, der Imaginärteil gleich -6 sein.

Wenn du nicht sofort auf die Lösung kommst, dann zeig mir die Schritte, die klappen.

15.04.2011, 20:20

Lara1111

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Ich verstehe nicht genau, wie du das mit dem einsetzen von z=a+bi in die Gleichung meinst.

Ich hätte es jetzt so gemacht:

z²= 6z+2iz Das kännte ich jetzt weiter ausrechnen, aber ich glaube nicht, dass du das meintest mit einsetzen, oder? Ich beachte dann ja auch den ganzen Rest der Gleichung nicht mehr.

15.04.2011, 20:33

Cel

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Das könntest du schwerlich weiter ausrechnen, da du das z nicht alleine auf eine Seite bekommst.

Also schön, hier noch mal deine Gleichung

$\begin{eqnarray*} z^2+6z+2iz= -9-6i \Leftrightarrow z^2 + (6 + 2i) z = -9-6i \end{eqnarray*}$

Und jetzt? Wir setzen $\begin{eqnarray*} z = a+ bi \end{eqnarray*}$ , denn z soll ja eine komplexe Zahl sein:

$\begin{eqnarray*} (a+bi)^2 + (6+2i) (a+bi) = -9-6i \end{eqnarray*}$

So, und die linke Seite multiplizierst du aus und klammerst überall, wo es geht, ein i aus. Das ist der Imaginärteil. Der Rest ist der Realteil.

16.04.2011, 10:04

Lara1111

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Okay.

Ich zeige dir meine einzelnen Schritte, da ich irgendwie es nicht wirklich auf die Reihe bekomme.

(a²+2abi+b²i²) + (6a+6bi+2ia+2i²b)= -9-6i

a²-b²+2abi+6a+6bi+2ia-2b=-9-6i

Und nun soll ich das i ausklammern. Da fängt mein Problem schon an. Ich versuche es mal:

a²-b²+ i (2ab) + 6a+ i (6b) + i(2a) - 2b = -9-6i

Und wie soll ich ich nun weitermachen? :S

16.04.2011, 10:12

lgrizu

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Ich wäre da etwas anders herangegangen, aber dazu später.

Du hast richtig ausmultipliziert, nun sortiere nach Real- und Imaginärteil, nutze dazu das Distributivgesetz um i auszuklammmern und führe dann einen Vergleich des Real-und Imaginärteils durch.

Das bringt dich auf ein GS mit zwei Gleichungenn und zwei Unbekannten.

16.04.2011, 11:05

Lara1111

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Ok, mit dem dem Distributivgesetz bekomme ich folgende Gleichung heraus:

i (2ab+6b+2a) + a²-b²+6a-2b = -9-6i

Wie gehe ich nun weiter vor? Kann ich die Klammer mit dem Rest einfach verrechnen?

Danke schon mal im Vorraus.

16.04.2011, 11:22

Cel

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Was möchtest du denn da verrechnen?

Nun musst du den Real- und Imaginärteil vergleichen.

Links steht

(2ab+6b+2a) * i , rechts steht -6*i.

Also: 2ab + 6b+2a = -6

Links steht a² - b² + 6a - 2b, rechts -9.

Also: a² - b² + 6a - 2b = -9.

Diese beiden Gleichungen kannst du passend auflösen.

Übrigens, natürlich hat lgrizu Recht, wenn er sagt, dass man es auch anders / einfacher machen kann. Ich persönlich mag ein rein reelles Gleichungssystem lieber. Und das bekommen wir hier.

Aber: Viele Wege führen nach Rom ... Augenzwinkern

18.04.2011, 19:03

Lara1111

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Vielen Dank. Ich bin wesentlich schlauer als vorher!!

Jetzt fehlt mir nur noch die Lösungen von den Gleichungen und ich habe ehrlich gesagt keien Ahnung, wie ich die zwei Gleichungen lösen soll.

Es existieren ja zwei Unbekannte.... Erstelle ich jetzt ein Gleichungssystem aus den beiden Gleichungen?? Und wenn ja, wie soll ich da weiter vorgehen?

18.04.2011, 19:06

Cel

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Zitat:

Original von Cel
Also: 2ab + 6b+2a = -6

Löse diese Gleichung nach a oder b auf und setze das in die andere ein. Ein wenig mühsam, führt aber zum Ziel. Es kommen jeweils "schöne" Zahlen heraus.

18.04.2011, 19:15

Lara1111

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Ich habe jetzt 2ab+6b+2a = -6
nach b aufgelöst. Daraus bekomme ich b=1.

Ist das das richtige Ergebnis? Ich bekomme allerdings auf ein sehr "unschönes" Ergebnis , wenn ich dieses b in die andere Gleichung einsetze.

18.04.2011, 20:45

lgrizu

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Mach einmal vor, was du bisher gemacht hast.

Ich stelle danach dann einma eine etwas weniger Rechenaufwendige Variante vor.

Wenn man 2ab+6b+2a = -6 nach b auflöst, so erhält man nicht b=1, sondern das b hängt immer noch von a ab, es sollte ein Bruch herauskommen.

Bringe zuerst alle Summanden, die kein b enthalten auf die eine Seite, alle, die ein b enthalten auf die andere, dann auf die Summanden, die ein b enthalten das Distributivgesetz anwenden und eine letzte Äquivalenzumformung tätigen.

19.04.2011, 10:09

Lara1111

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Ales klar. Ich habe jetzt als Ergebnis für b folgendes heraus:

b= -6-6a/2a+6

Ich hoffe das ist richtig?!

Und dieses b soll ich nun in die andere Gleichung einsetzen?

19.04.2011, 10:14

lgrizu

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Okay, ich hatte mich beim ersten Mal verrechnet, du hattest lediglich einen Vorzeichenfehler, wenn man kürzt kommt heraus b=-1 heraus.

Das kann man nun in die zweite Gleichung einsetzen.

19.04.2011, 10:26

Lara1111

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Ok, ich habe nun b=-1 in die andere Gleichung eingesetzt, aber bekomme sehr komische Ergenbisse heraus.

Ich kann ea ja einmal vorrechnen, danns iehst du sicher schnell, wo ich einen Fehler gemacht habe.
a²-b²+6a-2b=-9

a²- (-1)²+ 6a- 2(-1)=-9

a²- 1 + 6a +2 = -9

a² + 6a = -10

So nun bin ich weiter vorgegangen mit der quadratischen Ergänzung. Liegt darin vielleicht der Fehler?

19.04.2011, 10:30

lgrizu

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Nö, wieso, kann man machen, bisher ist richtig, was hast du denn heraus?

19.04.2011, 10:37

Lara1111

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Ok...dann mache ich mal weiter.
a² + 6a = -10 Nun quadratische Ergänzung...
a² +6a +9 = -1
(a+3)² = -1 Nun ziehe ich die Wurzel
a+3 = $\begin{eqnarray*} \pm\sqrt{1} \end{eqnarray*}$

dann habe ich einmal a= $\begin{eqnarray*} - i \sqrt{1} -3 \end{eqnarray*}$
und a= $\begin{eqnarray*} i \sqrt{1} -3 \end{eqnarray*}$

19.04.2011, 10:42

lgrizu

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Mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{1}=1 \end{eqnarray*}$ lassen wir das einmal getrost weg und haben als Lösungen:

$\begin{eqnarray*} a=\pm i-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=-1 \end{eqnarray*}$ .

Nun ist deine Zahl z=a+bi, nun noch a und b einsetzen und wir sind fertig.

Hier noch ein alternativer Lösungsvorschlag:

$\begin{eqnarray*} z^2+(6+2i)z+(9+6i)=0 \end{eqnarray*}$

Quadratische Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} z^2+(6+2i)z+\left( \frac{6+2i}{2} \right)^2=-9-6i+\left( \frac{6+2i}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$

Vereinfachen und binomische Formel:

$\begin{eqnarray*} (z+(3+i))^2=-1 \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} z= \pm i -3-i \end{eqnarray*}$

19.04.2011, 11:02

Lara1111

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Vielen Dank smile

Die andere Variante wäre wohl etwas schneller gegangen, aber immerhin hab ich es jetzt gut verstanden.

19.04.2011, 11:02

Mystic

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Zitat:

Original von lgrizu
Okay, ich hatte mich beim ersten Mal verrechnet, du hattest lediglich einen Vorzeichenfehler, wenn man kürzt kommt heraus b=-1 heraus.

Das kann man nun in die zweite Gleichung einsetzen.

Das ist leider ebenso falsch wie der empfohlene Weg einer Substitution... Richtig ist hier die Fallunterscheidung

1. Fall: a=-3
2. Fall: b =-1

19.04.2011, 11:05

lgrizu

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Jap, daran hab ich gerade nicht gedacht, was passiert, wenn der Nenner verschwindet, Hammer

19.04.2011, 11:11

Lara1111

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Ok jetzt bin ich etwas verwirrt.

Mir ist klar, dass ich b = -1 und a = -3 bei der ersten Gleichung herausbekomme.

Muss ich dann auch noch die 2. Gleichung nach a und b umstellen oder reicht es, wenn ich mit meinen ersten beiden Ergebnissen der ersten Gleichung auf z = -3 - i
komme?

19.04.2011, 11:39

lgrizu

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Genau das ist das Problem, dann wäre deine Lösung a=-3, b=-1, also z=-3-i.

Machen wir damit die Probe so erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} (-3-i)^2+(6+2i)(-3-i)+(9+6i)=9+6i-1-18-6i-6i+2+9+6i=1 \end{eqnarray*}$

Also ist z=-3-i offenkundig keine Nullstelle des Polynoms.

Die Lösung $\begin{eqnarray*} z=\pm i -3-i \end{eqnarray*}$ ist dann allerdings richtig, denn es ist $\begin{eqnarray*} z_1=-3 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (-3)^2+(-3)\cdot (6+2i)+9+6i=0 \end{eqnarray*}$

Und für $\begin{eqnarray*} z_2=-3-2i \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (-3-2i)^2+(6+2i)(-3-2i)+9+6i=0 \end{eqnarray*}$ .

19.04.2011, 14:33

Lara1111

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Ich lasse das jetzt so. Den Rechenweg habe ich ja nun immerhin richtig smile

So und eine letzte Frage habe ich nun auch noch....

Die Aufgabe lautet:

Drücke z = - 5\sqrt{3} + 5 i in Polarkoordinaten dar.

Diesen Teil hab ich schon bearbeitet und habe z = 10cos150°+i10sin150° heraus.

Die Aufgabe geht aber noch weiter:

Gib z² polar und kartesisch an.

Und da fangen meine Probleme an!!!!

Um es kartesisch anzugeben, habe ich immerhin einen kleinen Ansatz:

z²= -5\sqrt{3}+5i
(x+iy)²= -5\sqrt{3}+51

Daraus habe ich am Ende aber ein ganz komisches Ergebnis.
Irgendetwas mit z= 1,245i+2,008i

Das kann nicht sein. Ich bin mal wieder etwas überfragt.

19.04.2011, 20:20

lgrizu

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Du kannst auch benutzen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} r \cdot (\cos \phi + i \sin \phi )=r \cdot \exp(i \phi) \end{eqnarray*}$ .

Und den exp kann man recht einfach potenzieren.

19.04.2011, 21:17

Mystic

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Zitat:

Original von Lara1111

z²= -5\sqrt{3}+5i
(x+iy)²= -5\sqrt{3}+51

Daraus habe ich am Ende aber ein ganz komisches Ergebnis.
Irgendetwas mit z= 1,245i+2,008i

Das kann nicht sein. Ich bin mal wieder etwas überfragt.

Ja, ist echt komisch... Rauskommen sollten eigentlich zwei Lösungen statt nur einer und auch diese schauen bei mir total anders aus, nämlich so

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} =\pm \sqrt[4]{300} \left( \frac {\sqrt 3}6+\frac 12 i \right) \end{eqnarray*}$

Edit: Sorry Igrizu, wollte mich nicht einmischen, hab dich aber als abwesend gesehen... Muss aber eh weg... Wink

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