Beweis: Eigenraum ist UVR

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16.04.2011, 11:48	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Eigenraum ist UVR Meine Frage: Meine Aufgabe: Zeigen Sie: Sei A $\begin{eqnarray} \in K^{(n,n)} \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} \lambda \in K \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von A. Dann gilt: E(A; $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} \subset K^{n} \end{eqnarray}$ ist ein Untervektorraum. Meine Ideen: Mein Lösungsansatz wäre ein Beweis mit den Untervektorraumaxiomen (UVR1) - (UVR3): (UVR1): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}\neq \end{eqnarray}$ leere Menge $\begin{eqnarray} \Rightarrow E(A;\lambda)\neq \end{eqnarray}$ leere Menge (UVR2): $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}, y=\begin{pmatrix} y_1 \\ ... \\ y_n \end{pmatrix} \in E(A;\lambda ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+y = \begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ ... \\ x_n + y_n \end{pmatrix}\in E(A;\lambda ) \end{eqnarray}$ (Abgeschl. bezügl. Addition) (UVR3): $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}, \lambda \in K<br /> \lambda x = \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ ... \\ \lambda x_n \end{pmatrix} \in E(A;\lambda ) \end{eqnarray}$ (Abgeschl. bezügl. Multiplikation mit Skalaren) Kann mir jemand sagen, ob das so stimmt?
16.04.2011, 11:54	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast die zu zeigenen Kriterien aufgeschrieben, einen Beweis hast du aber nicht geführt. Woher kommt die Abgeschlossenheit bzgl. der Addition? Was soll $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \neq \emptyset \end{eqnarray}$ bedeuten? Warum soll $\begin{eqnarray} \lambda\cdot x \end{eqnarray}$ im Eigenraum liegen? Du hast bisher überhaupt nichts davon gezeigt.
16.04.2011, 11:58	Cel	Auf diesen Beitrag antworten »
Da sehe ich keinen Beweis, du schreibst das, was du beweisen sollst, als Beweis selbst auf. Und dann belegst du auch Lambda doppelt: Einmal ist das der Eigenwert, einmal ein beliebiger Skalar. Zu Punkt 1. Du schreibst, der UVR ist keine leere Menge, weil eben der Vektor $\begin{eqnarray} (x_1, \dots, x_n)^T \end{eqnarray}$ drin ist. Du solltest hier einen konkreten Vektor angeben. Es gibt einen bestimmten Vektor, der per definitionem da drin liegt. Zu Punkt 2 und 3. Hier musst du sauber trennen, was du weißt und was du zeigen sollst. Du hast zwei Vektoren x und y, die in E liegen. Was heißt das denn überhaupt? Was musst du zeigen? Beachte, was es heißt, Eigenvektor zum Eigenwert Lambda zu sein. Und wie gesagt, nimm für Punkt 3 lieber $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Edit: Ah, da war mein Text zu lang. Iorek macht dann mal weiter.
16.04.2011, 12:50	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
ok also zu punkt 1: meinst du ich soll sagen dass der nullvektor nach definition enthalten ist? also dann so: $\begin{eqnarray} x = \begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \in E(A;\lambda), da A\cdot x = \lambda \cdot x = \begin{pmatrix} 0 \\ ... \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow E(A;\lambda)\neq \end{eqnarray}$ leere Menge könntet ihr mir sagen ob das jetzt erstmal so richtig ist bevor ich dann mit punkt 2 weitermache ?
16.04.2011, 12:59	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, der Nullvektor muss zwingenderweise enthalten sein, damit es sich überhaupt um einen Unterraum handeln kann. Ich würde vielleicht noch dazuschreiben, wie die Menge $\begin{eqnarray} E(A,\lambda) \end{eqnarray}$ überhaupt aussieht, welche Bedingung müssen die enthaltenen Elemente erfüllen? Wenn du das noch dazu schreibst, wäre der Nachweis des ersten Kriteriums in Ordnung (ich gehe mal davon aus, dass du $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gemeint hast und nicht $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ).
16.04.2011, 13:07	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
oh ja das meinte ich natürlich das schreibe ich noch dazu falls du das meinst: $\begin{eqnarray} E(A;\lambda )= \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} x\in K^{n}\| Ax = \lambda x \end{eqnarray}$ } ? und könnte ich dann bei punkt 2 so argumentieren: $\begin{eqnarray} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ ... \\ x_n \end{pmatrix}, y=\begin{pmatrix} y_1 \\ ... \\ y_n \end{pmatrix} \in E(A;\lambda ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+y = \begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ ... \\ x_n + y_n \end{pmatrix}\in E(A;\lambda ) \end{eqnarray}$ (Abgeschl. bezügl. Addition) da $\begin{eqnarray} Ax = \lambda x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Ay = \lambda y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow Ax + Ay = \lambda x + \lambda y = \lambda (x + y) \Rightarrow x +y \in E(A;\lambda) \end{eqnarray}$
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16.04.2011, 13:12	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Vollständigkeit halber solltest du links noch $\begin{eqnarray} A(x+y)=Ax+Ay\dots \end{eqnarray}$ hinzufügen, ansonsten ist das der richtige Gedanke. Die Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation sollte damit jetzt auch leicht sein.
16.04.2011, 13:17	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
ich muss sagen bei punkt 3 bin ich mir jetzt nicht so sicher ich würde sagen da $\begin{eqnarray} Ax = \lambda x \Rightarrow \alpha (Ax) = \alpha (\lambda x) \Rightarrow \alpha (Ax) = \lambda (\alpha x) \end{eqnarray}$ und dann deswegen $\begin{eqnarray} \Rightarrow \alpha x\in E(A;\lambda ) \end{eqnarray}$ ??
16.04.2011, 13:22	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast. Es sei $\begin{eqnarray} x\in E(A,\lambda) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha \in K \end{eqnarray}$ . Du musst zeigen, dass dann auch $\begin{eqnarray} \alpha x\in E(A,\lambda) \end{eqnarray}$ ist, also $\begin{eqnarray} A(\alpha x)=\lambda (\alpha x) \end{eqnarray}$ .
16.04.2011, 13:37	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
du meinst ich soll nur statt $\begin{eqnarray} \alpha (Ax) \end{eqnarray}$ schreiben: $\begin{eqnarray} A(\alpha x) \end{eqnarray}$ ?
16.04.2011, 13:47	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das meine ich nicht. Du sollst begründen, warum für jedes $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ diese Gleichung gilt. Wir wissen bisher nur, dass $\begin{eqnarray} Ax=\lambda x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\in E(A,\lambda) \end{eqnarray}$ ist, jetzt multiplizieren wir den Eigenvektor mit einem Skalar, warum ist das dann auch wieder ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert, d.h. warum ist $\begin{eqnarray} A(\alpha x)=\lambda (\alpha x) \end{eqnarray}$ ?
16.04.2011, 15:27	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
aber wie kann ich das beweisen ?
16.04.2011, 15:30	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Fang an mit $\begin{eqnarray} A(\alpha x) \end{eqnarray}$ und forme das so um, dass du auf $\begin{eqnarray} \lambda (\alpha x) \end{eqnarray}$ kommst. Im Prinzip hast du so etwas ähnliches auch schon gemacht, du musst es nur richtig ordnen und aufschreiben.
16.04.2011, 15:40	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
also das wäre dann ja: $\begin{eqnarray} A(\alpha x)=\alpha (Ax)=\alpha (\lambda x)=\lambda (\alpha x) \end{eqnarray}$
16.04.2011, 15:43	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du noch eine Erläuterung zu den Umformungen gibst (warum darfst du das machen?), wäre die Aufgabe erledigt.
16.04.2011, 15:47	schweizerkäse	Auf diesen Beitrag antworten »
gut mache ich vielen dank

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