Transformation unter Ähnlichkeitsabbildungen

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Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation unter Ähnlichkeitsabbildungen
Meine Frage:
Sei M eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des und eine Ähnlichkeitsabbildung, also mit und Q eine orthogonale - Matrix.

Zeigen Sie:

(1) ist eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des .

(2) Eine Funktion ist über integrierbar genau dann, wenn über M integrierbar ist, und in diesem Fall gilt für die Integrale:

.

(3) Eine Teilmenge ist integrierbar genau dann, wenn eine integrierbare Teilmenge von ist und in diesem Fall gilt:

.

Meine Ideen:
Zu (1):

Ist lokale Parametrisierung (also Karte) von M, so ist lokale Parametrisierung von .

Also ist k-dimensionale Untermannigfaltigkeit des .

Bei (2) und (3) habe ich noch nicht so wirklich Ideen.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Bei (1) hast du die richtigen Karten, musst aber noch zeigen dass sie verträglich sind [das ist aber ein Einzeiler].

Zu (2): Transformationssatz.

Zu (3): Direkte Folgerung aus (2) [ = charakteristische Funktion].
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

(1) Um die Verträglichkeit der beiden Karten zu zeigen, muss doch gezeigt werden, dass .


Also gilt doch für ein beliebiges , dass dieses "umgewandelt" wird in .

Folgt daraus nicht, dass der Schnitt leer ist, weil es eben keine gemeinsamen Elemente geben kann (weil ja die Elemente aus sämtlich abgeändert werden.)?


Bei (2) und (3) muss ich Deine Tipps erstmal verstehen.

Meinst Du bei (2) den Transformationssatz, wo man den einen Maßtensor bzw. Gramsche Determinante in den anderen Maßtensor bzw. Gramsche Determinante überführt?

Ich würde also den "neuen" Maßtensor berechnen und die "neue" Gramsche Determinante und daraus würde dann die Behauptung folgen:

Also die Karte ist ja .
Da

Wenn ich jetzt wüsste, was da raus kommt, könnte ich den neuen Maßtensor berechnen.
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dennis2010
(1) Um die Verträglichkeit der beiden Karten zu zeigen, muss doch gezeigt werden, dass .


Quatsch. Verträglichkeit der Karten bedeutet, dass die Kartenwechsel alle genügend oft differenzierbar sein müssen [hier also wohl ]. Du nimmst dir nun zwei Karten [jeweils offen; ] mit und zeigst, dass eine Abbildung ist.



Zitat:
Original von Dennis2010
Meinst Du bei (2) den Transformationssatz, wo man den einen Maßtensor bzw. Gramsche Determinante in den anderen Maßtensor bzw. Gramsche Determinante überführt?


Ich meine den Transformationssatz für Integrale.
Eigentlich musst du nur und seine Determinante berechnen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

(2)

Ist denn ein Diffeomorphismus?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine Menge. ist eine invertierbare, lineare Abbildung, also natürlich auch ein Diffeomorphismus.
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal eine Frage:

Bei Forster habe ich eine ähnliche Aufgabe gefunden. Und er benutzt nicht den Transformationssatz, sondern - glaube ich - macht das anders:

Er beweist den Satz, den ich beweisen soll mit folgender Ausgangssituation.
Für sei , .

[Wenn ich das richtig verstehe, ist der einzige Unterschied zu meiner Aufgabe, dass bei mir gilt: , stimmt das?]

Naja, jedenfalls beweist er das so:

Für jede Karte von M ist eine Karte von .

Wegen gilt:

, also folgt für die Gramschen Determinanten

, d.h. .

Dann schreibt er: Daraus folgt die Behauptung.


Ist dies ein anderer, alternativer Lösungsweg zu Deinem Vorschlag oder ist hier auch irgendwo die Transformationsformel benutzt und ich sehe das nur nicht?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist im Prinzip dasselbe.

Aber ich an deiner Stelle würde das jetzt selbst versuchen zu lösen anstatt die Lösung in einem Buch zu suchen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich möchte ja die Lösung gar nicht abschreiben!

Ich will nur verstehen, wieso es "im Prinzip" dasselbe ist.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Mich würde mal interessieren, was überhaupt diese Ähnlichkeitsabbildung ist:

.

Was macht die?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Die Abbildung ist eine Translation. ist eine orthogonale Matrix, das heisst geometrisch ist das eine Kongruenzabbildung oder Bewegung, dh eine lineare Abbildung, die Winkelmasse und Streckenlängen nicht ändert [zb Spiegelung; Drehung;...] und die Multiplikation mit einem entspricht einer anschliessenden Streckung; zb verdoppelt das ganze Gebilde.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir wirklich leid, wenn ich Dir vielleicht auf die Nerven gehe.
Aber ich würde wirklich noch gerne wissen, wie die Idee von Forster und Deine Idee (Transformationssatz) zusammenhängen.

Ich brauche diese Aufgabe unbedingt zum Punktesammeln und bin grad ein bisschen am Verzweifeln.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann man und die Determinante berechnen?

Ich würde das nun gerne so machen, wie Forster das gemacht hat.

Aber ich sehe noch nicht, wie das aufgeht:

Also

[Bei dem Forster-Beispiel (s.o.) konnte man jetzt so schön schreiben , aber hier geht das nicht so schön auf oder:

Kann man hier auch sowas erkennen? Also das kann man wieder vor das Skalarprodukt ziehen, aber was ist mit ?

Oder schreibt man jetzt einfach:

?

Dann sehe ich aber nicht, wie wieder am Ende herauskommt, denn komischerweise soll hier ja das Gleiche rauskommen, wie beim Forster-Beispiel.

Wer kann mich aufklären?
Kann man das Q und das +a vielleicht einfach weglassen, weil es für die Integration keine Rolle spielt? Nur r ist doch eigentlich relevant, weil es etwas vergrößert oder verkleinert?
Mit anderen Worten: Das Beispiel, dass Forster genannt hat, ist letztlich die gleiche Aufgabe wie diese hier?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, damit komme ich nicht weiter.

Also zurück zu dem ursprünglichen Hinweis von Dir:

(2) Transformationsformel:

Ich muss dann nur berechnen



Was ist denn dann

Ich komme da einfach nicht drauf! unglücklich

Vielleicht:


Davon der Betrag ist dann , da Q orthogonal.

Okay, aber muss nicht statt herauskommen, damit die Transformationsformel herauskommt?


Noch eine Frage:
Bei der Transformationsformel stehen ja nur Ausdrücke wie dx und dx.
Kann man das dS(x) hier genauso behandeln? Ist es egal, ob da dx, dx oder dS(x) steht?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal zu der Verträglichkeit der beiden Karten , wobei :

Ich muss jetzt zeigen, dass sowohl , als auch beliebig oft differenzierbar sind. Korrekt?

I.

müsste ohnehin erfüllt sein, da die Ähnlichkeitsabbildung ja jedes Element "abändert".



Und das ist beliebig oft differenzierbar nach x.


II. analog

Macht man das so?
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Du musst zwei Karten von nehmen und schauen dass diese miteinander verträglich sind. und sind schliesslich zwei verschiedene Mannigfaltigkeiten, da muss nix zueinanderpassen.
Da musst du dich erinnern wie du den Atlas für gebaut hast: Nimm einen Atlas für und verkette jede Karte noch mit .

Also seien zwei Karten für mit nicht leer. Das liefert zwei Karten für , nämlich .
Wieso gilt dann ? [Sprich, wieso ist es sinnvoll für solche Karten zu überprüfen ob sie verträglich sind? Ausserdem sollte daraus hervorgehen wieso der Schnitt leer ist falls ; das zeigt dann dass du damit schon jede mögliche Verträglichkeitsfrage überprüfst.]

Danach zeigst du die Verträglichkeit, dh zeige, dass unendlich oft dfb ist [natürlich nutzt du hier, dass ].
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