ganzzahlige Summe von Brüchen

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KnightofCydonia Auf diesen Beitrag antworten »
ganzzahlige Summe von Brüchen
Meine Frage:
ggT(a,b)=ggT(c,d)=1. Ich soll nun zeigen: Wenn gilt, folgt, dass b entweder gleich -d oder d ist.

Meine Ideen:
ggT(a,b)=ggT(c,d)=1 bedeutet, dass sich die beiden Brüche nicht weiter kürzen lassen. Wenn ist, dann bd |(ad+cb). eigentlich komme ich hier schon nicht mehr weiter.
Ist b entweder gleich -d oder d, dann folgt, dass d|(a+c), dh ggT(d, a+c)=d...ich frage mich wieso das gelten sollte, stelle ich doch eigentlich keine Bedingungen an a und c bis auf die eigenschaft, dass sie zu b bzw. d relativ prim sind.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du weitermachst, kriegst du ein mit .

Andererseits gibt es aber ganze Zahlen mit

Dies ergibt zusammen

Daraus folgt aber (diesen Punkt musst du evtl. noch genau begründen), also .

Jetzt musst du nur noch zeigen, dann hast du es schon.
KnightofCydonia Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Jetzt musst du nur noch zeigen, dann hast du es schon.


So wie es ganze Zahlen mit gibt, gibt es natürlich auch mit . So wie in der anderen Richtung komme ich somit auf
Das ist natürlich äquivalent zu .

Zitat:
Daraus folgt aber (diesen Punkt musst du evtl. noch genau begründen)

In der "Rückrichtung" muss ich zeigen, dass , was ganz analog funktionieren sollte:

Wenn ich haben möchte, dass gilt, muss ich wegen obiger Gleichung, und weil ggT(c,d)=1 nach Vorraussetzung zeigen, dass .
Es ist
Daraus folgt dann eben , also , weil .

Passt das so? Danke allenfalls für die Hilfe!
öPus Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich hoffe ich "darf" hier auch eine Frage stellen
> Wenn du weitermachst, kriegst du ein mit .
> Andererseits gibt es aber ganze Zahlen mit
> Dies ergibt zusammen

Was machst du mit den beiden Gleichunngen, dass du zu dieser am Schluß kommst?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zweite Zeile mit bdz multiplizieren und von der ersten abziehen.
öPus Auf diesen Beitrag antworten »

Danke,
noch eine Frage:
> aber also .

Ich versteh nicht ganz wie ich beweisen kann
Bei meiner angabe steht noch b,d nicht gleich 0

sind wir nun stehen geblieben

da b nicht gleich 0 ist

Danke,
lg
 
 
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und da die rechte Seite eine ganze Zahl ist, ist es auch die Linke, also
und dann noch ggT(a,b)=1 verwenden.
öPus Auf diesen Beitrag antworten »

ZZ.:

> und dann noch ggT(a,b)=1 verwenden.



verwirrt

Wer ganz lieb, wenn du nochmal aushelfen könntest, bin mit zahltentheorie noch nicht so vertraut.


Folt eigentlich nicht automatisch aus dem Anfang:
bd|(ad+cb)
b|ad+bc
b|ad
b|d
Wo ist da der Denkfehler?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
bd|(ad+cb) b|ad+bc b|ad b|d Wo ist da der Denkfehler?

Nirgends, das stimmt.

Zitat:
verwirrt
Was soll mir das sagen?
öPus Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso machen wir es dann komplizierter, wenn man es von oben folgern kann?

Trotzdem würd ich noch gerne herausfinden wie man zeigt
aus und dann ggT(a,b)=1

> Was soll mir das sagen?
Ich hab nur versucht mit den zwei Informationne, dass zu zeigen was wir brauchen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ganzzahlige Summe von Brüchen
Zitat:
Original von KnightofCydonia
Meine Frage:
ggT(a,b)=ggT(c,d)=1. Ich soll nun zeigen: Wenn gilt, folgt, dass b entweder gleich -d oder d ist.

Meine Ideen:
ggT(a,b)=ggT(c,d)=1 bedeutet, dass sich die beiden Brüche nicht weiter kürzen lassen. Wenn ist, dann bd |(ad+cb). eigentlich komme ich hier schon nicht mehr weiter.

Hm, also ich hätte hier einfacher so argumentiert:



Aus Symmetriegründen (b und d kommen in der Aufgabenstellung ja vollkommen gleichberechtigt vor!) muss natürlich auch d|b, also dann |b|=|d| gelten...

Edit: Sorry, hab da die letzten Postings nicht gelesen, womit das nun teilweise obsolet ist (oder eben nur ausführlicher, als es oben schon gesagt wurde!)...
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wieso machen wir es dann komplizierter, wenn man es von oben folgern kann?

Die Kompliziertheit liegt doch etwas im Auge des Betrachters. Der hier geführte Beweis ist zielführend - das ist doch schon mal was.

Zitat:
wie man zeigt aus und dann ggT(a,b)=1

Verwende
öPus Auf diesen Beitrag antworten »

danke!
Mystic, ah an das lemma hätte ich gar nicht gedacht. Das ist natülich am schönsten gelöst.
Die "Symmetriegründe" ist mir leider gar nicht geläufig und wende ich desalb auch nicht in meiner Übung an.Man muss doch d|b anders lösen können.

galoisseinbruder
achja, wir hatten ja dazu ein Lemma und das sagt mir, dass


Nun:
ZZ.: d|b

wie vorher: mit .

der ganzen zahlen mit

Dies ergibt
<=>.

eine ganze zahl, also auch die rechte seite.
=> d|c(b-x bdz)
ggT(d,c)=1
=> d|b-x bdz
=> d|b

d|b,b|d <=> |b|=|d|

FRAGE:
Schaut das im Beweis blöd aus, wenn ich die erste Richtung mit Lemma von Euklid beweisen und die zweite Richtung, wie gerade angegeben. Oder sollte ich das einheitlich beide Richtungen (b|d und d|bmit dieser Methode beweisen.?
galoisseinbruder Auf diesen Beitrag antworten »

Fällt dir auf dass der Beweis für d|b der selbe ist wie für b|d (nur dass die Rollen von a und c und die von b und d vertauscht wurden.)?
Das sind die angesprochenen Symmetrigründe:
Zitat:

Das b ist der Nenner des ersten Bruchs, aber man kann die Reihenfolge der Brüche ja umstellen.

Es sieht daher blöd aus, dass du überhaupt für d|b einen zusätzlichen Beweis aufschreibst.
öPus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist mir aufgefallen.
danke,lg

Fragt sich nur welchen beweis ich jetzt nehme^^
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