ganzzahlige Summe von Brüchen |
16.04.2011, 14:45 | KnightofCydonia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ganzzahlige Summe von Brüchen ggT(a,b)=ggT(c,d)=1. Ich soll nun zeigen: Wenn gilt, folgt, dass b entweder gleich -d oder d ist. Meine Ideen: ggT(a,b)=ggT(c,d)=1 bedeutet, dass sich die beiden Brüche nicht weiter kürzen lassen. Wenn ist, dann bd |(ad+cb). eigentlich komme ich hier schon nicht mehr weiter. Ist b entweder gleich -d oder d, dann folgt, dass d|(a+c), dh ggT(d, a+c)=d...ich frage mich wieso das gelten sollte, stelle ich doch eigentlich keine Bedingungen an a und c bis auf die eigenschaft, dass sie zu b bzw. d relativ prim sind. |
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16.04.2011, 14:58 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du weitermachst, kriegst du ein mit . Andererseits gibt es aber ganze Zahlen mit Dies ergibt zusammen Daraus folgt aber (diesen Punkt musst du evtl. noch genau begründen), also . Jetzt musst du nur noch zeigen, dann hast du es schon. |
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16.04.2011, 16:51 | KnightofCydonia | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
So wie es ganze Zahlen mit gibt, gibt es natürlich auch mit . So wie in der anderen Richtung komme ich somit auf Das ist natürlich äquivalent zu .
In der "Rückrichtung" muss ich zeigen, dass , was ganz analog funktionieren sollte: Wenn ich haben möchte, dass gilt, muss ich wegen obiger Gleichung, und weil ggT(c,d)=1 nach Vorraussetzung zeigen, dass . Es ist Daraus folgt dann eben , also , weil . Passt das so? Danke allenfalls für die Hilfe! |
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02.04.2012, 20:26 | öPus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo, ich hoffe ich "darf" hier auch eine Frage stellen > Wenn du weitermachst, kriegst du ein mit . > Andererseits gibt es aber ganze Zahlen mit > Dies ergibt zusammen Was machst du mit den beiden Gleichunngen, dass du zu dieser am Schluß kommst? |
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02.04.2012, 20:35 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zweite Zeile mit bdz multiplizieren und von der ersten abziehen. |
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02.04.2012, 20:53 | öPus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke, noch eine Frage: > aber also . Ich versteh nicht ganz wie ich beweisen kann Bei meiner angabe steht noch b,d nicht gleich 0 sind wir nun stehen geblieben da b nicht gleich 0 ist Danke, lg |
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02.04.2012, 20:58 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und da die rechte Seite eine ganze Zahl ist, ist es auch die Linke, also und dann noch ggT(a,b)=1 verwenden. |
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02.04.2012, 21:20 | öPus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ZZ.: > und dann noch ggT(a,b)=1 verwenden. Wer ganz lieb, wenn du nochmal aushelfen könntest, bin mit zahltentheorie noch nicht so vertraut. Folt eigentlich nicht automatisch aus dem Anfang: bd|(ad+cb) b|ad+bc b|ad b|d Wo ist da der Denkfehler? |
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02.04.2012, 21:31 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nirgends, das stimmt.
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02.04.2012, 21:38 | öPus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wieso machen wir es dann komplizierter, wenn man es von oben folgern kann? Trotzdem würd ich noch gerne herausfinden wie man zeigt aus und dann ggT(a,b)=1 > Was soll mir das sagen? Ich hab nur versucht mit den zwei Informationne, dass zu zeigen was wir brauchen. |
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02.04.2012, 21:40 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: ganzzahlige Summe von Brüchen
Hm, also ich hätte hier einfacher so argumentiert: Aus Symmetriegründen (b und d kommen in der Aufgabenstellung ja vollkommen gleichberechtigt vor!) muss natürlich auch d|b, also dann |b|=|d| gelten... Edit: Sorry, hab da die letzten Postings nicht gelesen, womit das nun teilweise obsolet ist (oder eben nur ausführlicher, als es oben schon gesagt wurde!)... |
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02.04.2012, 21:50 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Kompliziertheit liegt doch etwas im Auge des Betrachters. Der hier geführte Beweis ist zielführend - das ist doch schon mal was.
Verwende |
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02.04.2012, 22:15 | öPus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
danke! Mystic, ah an das lemma hätte ich gar nicht gedacht. Das ist natülich am schönsten gelöst. Die "Symmetriegründe" ist mir leider gar nicht geläufig und wende ich desalb auch nicht in meiner Übung an.Man muss doch d|b anders lösen können. galoisseinbruder achja, wir hatten ja dazu ein Lemma und das sagt mir, dass Nun: ZZ.: d|b wie vorher: mit . der ganzen zahlen mit Dies ergibt <=>. eine ganze zahl, also auch die rechte seite. => d|c(b-x bdz) ggT(d,c)=1 => d|b-x bdz => d|b d|b,b|d <=> |b|=|d| FRAGE: Schaut das im Beweis blöd aus, wenn ich die erste Richtung mit Lemma von Euklid beweisen und die zweite Richtung, wie gerade angegeben. Oder sollte ich das einheitlich beide Richtungen (b|d und d|bmit dieser Methode beweisen.? |
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02.04.2012, 22:26 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Fällt dir auf dass der Beweis für d|b der selbe ist wie für b|d (nur dass die Rollen von a und c und die von b und d vertauscht wurden.)? Das sind die angesprochenen Symmetrigründe:
Das b ist der Nenner des ersten Bruchs, aber man kann die Reihenfolge der Brüche ja umstellen. Es sieht daher blöd aus, dass du überhaupt für d|b einen zusätzlichen Beweis aufschreibst. |
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02.04.2012, 22:36 | öPus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja ist mir aufgefallen. danke,lg Fragt sich nur welchen beweis ich jetzt nehme^^ |
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