Homomorphiesatz

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Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphiesatz
Ich habe eine Frage zu einer Aussage in meinem Skript bezüglich des Homomorphiesatzes. Am besten lade ich ein Bild dazu hoch:

[attach]19100[/attach]

Der Satz und auch der Beweis an sich ist, glaube ich, klar. Ich habe eine Frage zur Aussage ganz unten (das rot eingekreiste). Der Satz besagt doch, dass ich anstelle eines Epimorphismus auch einen kanonischen Epimorphismus betrachten kann, weil immer ein Isomorphismus existiert. So habe ich das verstanden. In Ordnung?

Jetzt steht in diesem letzten Satz aber ja nicht , sondern (im vorherigen Absatz darüber auch schon). Ist das jetzt nur etwas unglücklich aufgeschrieben, weil im Laufe des Satzes gesetzt wurde und eigentlich war in diesem Satz auch der Kern gemeint, oder gilt diese Aussage jetzt tatsächlich allgemein für alle Normalteiler N von G? Nein, oder? Oder gilt es immer, wenn ist? Ein beliebiger Normalteiler muss doch nicht unbedingt eine Teilmenge von sein, oder?

Da haperts noch ein bisschen am Verständnis. Ich hätte jetzt gedacht, dass gelten muss damit trivial und damit injektiv bleibt. Stimmt das? Versaue ich mir die Surjektivität von , wenn N nicht mehr der ganze Kern ist, so dass der Normalteiler N als Resultat des Ganzen dann wirklich genau gleich dem Kern sein muss?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Normalteiler sind doch gerade die Kerne der Gruppenhomomorphismen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Die Normalteiler sind doch gerade die Kerne der Gruppenhomomorphismen.

Heißt also, dass zu einem beliebigen Normalteiler N von G ein Gruppenhomomorphismus existiert, so dass N gerade der Kern von ist? Hmm, wenn ja, habe ich das bisher noch nicht gewusst.

Allerdings kann ich mir meine Frage glaube ich noch nicht so ganz beantworten. Ich wähle doch anfangs ein festes aus und für diesen Homomorphismus gilt dann die Isomorphie



Wenn ich nun irgendeinen Normalteiler N hernehme, dann gilt doch nicht



nur weil es irgendwo auf der lieben weiten Welt einen Homomorphismus gibt, dessen Kern gerade N ist, oder? Was hat das mit diesem (doch fest gewählten) zu tun?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Zitat:
Original von tmo
Die Normalteiler sind doch gerade die Kerne der Gruppenhomomorphismen.

Heißt also, dass zu einem beliebigen Normalteiler N von G ein Gruppenhomomorphismus existiert, so dass N gerade der Kern von ist? Hmm, wenn ja, habe ich das bisher noch nicht gewusst.

Ja, die kanonische Einbettung leistet das Gewünschte.

Zitat:
Original von Mulder
Allerdings kann ich mir meine Frage glaube ich noch nicht so ganz beantworten. Ich wähle doch anfangs ein festes aus und für diesen Homomorphismus gilt dann die Isomorphie



Wenn ich nun irgendeinen Normalteiler N hernehme, dann gilt doch nicht



Das ist natürlich richtig, aber es ist so gemeint:

Wenn man einen Gruppenepimorphismus hat, dann ist , d.h. H ist isomorph zu irgendeiner Faktorgruppe von G. Aber irgendeine Faktorgruppe von G hat ja auch die Form , wobei N irgendein Normalteiler von G ist.
Und die Normalteiler eben genau die Kerne sind, ist das sogar eine 1zu1-Beziehung.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Ja, die kanonische Einbettung leistet das Gewünschte.

Ah jo, klar. Ist also nicht so, dass ich es nicht gewusst habe, ich habe nur nicht gewusst, dass ich es eigentlich doch wohl weiß. Macht's aber auch nicht besser, eher noch schlimmer. Big Laugh

Nunja, danke für deine Ausführungen, jetzt ist es klarer geworden und ich kann mich zu den Isomorphiesätzen durchackern. Augenzwinkern
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