Primideale in Z[i] [PAF]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Primideale in Z[i] [PAF]
Zitat:
Wie lauten die Primideale in ?


Wie gehe ich das denn an? Ich weiß erst mal nur, dass ein euklidischer Ring ist und damit auch ein Hauptidealring. D.h. jedes Ideal in Z[i] wird von einem Element erzeugt.

Da fallen mir zunächst mal 3 Varianten ein, wie ich die Elemente von Z[i] aufteilen kann.







Wie sehen Ideale von solchen Elementen aus. Bringt mich das weiter...?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Die Überschrift passt nicht mit der Frage zusammen. Sind die maximalen oder die primen Ideale gesucht?
Du hast schon richtig erkannt, dass jedes Ideal von einem Element erzeugt wird. Somit gilt insbesondere .
Ich könnte dir nun die Klassifikation der Primelemente dieses Rings geben, dann könntest du zeigen, dass diese Klassifikation stimmt. Wäre das in deinem Sinne?

Oder suchst du vielleicht doch die maximalen Ideale (die natürlich allesamt prim sind)?

Edit: Teilweise unsinnig, was ich hier geschrieben habe, denn in Hauptidealringen ist jedes Primideal, bis auf das Nullideal, maximal...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Titel editiert. Die Frage ist also äquivalent zu der Frage nach den Primzahlen in Z[i]? Und Z[i] heißt auch Gaußscher Zahlenring oder sind die Gaußschen Zahlen ? Denn ich habe da noch mehr Fragen zu, aber Z[i] brachte bei google "keine" Treffer.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist der Ring der Gauß'schen Zahlen. Siehe übrigens auch mein Edit... Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also wiki liefert ja 3 Typen vom Primzahlen in Z[ik]. Nennt man die "komplexe Primzahlen"? Und Primideale sind dann genau die von komplexen Primzahlen erzeugten Ideale?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ja, das ist genau die Klassifikation der Primelemente. Die Bezeichnung "komplexe Primzahlen" ist mir bisher nicht untergekommen. Aber das wäre ja auch nicht so sinnig.
Es handelt sich einfach um Primelemente im Sinne der Ringtheorie. "Komplexe Primzahlen" suggeriert irgendwie einen Zusammenhang zum Körper , aber die Frage nach Primelementen ist in Körpern unsinnig.

Ja, die Primideale sind nun genau die von diesen Elementen erzeugten Ideale (und dazu das Nullideal, da der betrachtete Ring nullteilerfrei ist).

Edit: Um die Klassifikation der Primelemente in diesem Ring zu beweisen könnte folgende Bemerkung hilfreich sein.
Sei euklidisch, dann gilt für
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bezeichnung entstammt Prüfungsunterlagen - also nicht von mir erfunden. Es gibt auch den Begriff "Gaußsche Primzahl".

Netter Vortrag, auch wenn ich kein Schach spiele.
http://www.math.tu-dresden.de/~ganter/in...nf07-Spiele.pdf

Also ist nur Typ 3 (Primzahlen der Form 4k + 3) der Primelemente des Rings Z[i] das, was man als Gaußsche Primzahl/komplexe Primzahl bezeichnet?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe das schon so, dass mit Gauß'scher / komplexer Primzahl alle Primzahlen des Rings gemeint sind. Die ganzzahligen Primzahlen der Form 4k+3 sind allerdings die, die auch im Ring de Gauß'schen Zahlen prim sind.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.
Ich verstehe das schon so, dass mit Gauß'scher / komplexer Primzahl alle Primzahlen des Rings gemeint sind. Die ganzzahligen Primzahlen der Form 4k+3 sind allerdings die, die auch im Ring de Gauß'schen Zahlen prim sind.


Wo unterscheiden die sich denn nun... Dachte das wäre Z[i].... verwirrt
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Die unterscheiden sich nicht:

Zitat:
Original von jester.
Ich verstehe das schon so, dass mit Gauß'scher / komplexer Primzahl alle Primzahlen des Rings der Gauß'schen Zahlen gemeint sind. Die ganzzahligen Primzahlen der Form 4k+3 sind allerdings die, die auch im Ring der Gauß'schen Zahlen prim sind.


Mit "dem Ring" meine ich also den Ring, um den wir uns gerade kümmern, also . Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Wird man die Primideale dann nur in der (a) Notation angeben oder noch irgendwie anders?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wüsste nicht, wie man die sonst angeben sollte. Jedes Ideal ist hier ja ein Hauptideal, das heißt die Angabe des Erzeugers beschreibt das Ideal schon vollständig.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann ist diese Frage [Wie lauten die Primideale] fertig.

Ich muss nun noch nachvollziehen, was die Gaußschen Primzahlen sind, oder warum man gerade auf die Wiki -einteilung kommt.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wenn wir die Norm mit bezeichnen, dann können wir zeigen:



Damit erschlagen wir schonmal, dass prim ist.

Dann wären die ganzen Primzahlen der Form 4k+3 dran. Ich glaube da kann man irreduzibel äquivalent zu prim benutzen.
Dann kommt: Ist , dann gibt es ein primes mit . Da kann man gebrauchen, dass es in ein Element der Ordnung 4 gibt, da 4 in diesem Fall die Ordnung teilt.

Damit haben wir dann schon gezeigt, dass jedes Element auf der Liste prim ist. Wir müssen dann nur noch zeigen, dass ein Primelement zu einem Element auf der Liste assoziiert ist.
Bei der Assoziiertheit spielt die Einheitengruppe eine Rolle, vielleicht möchtest du noch zeigen, dass .
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du mal abscannen, ob das hier für die Antwort tauglich ist:
http://www2.math.uni-paderborn.de/filead..._scheZahlen.pdf

Spart dir latex Tipparbeit. Augenzwinkern
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das Wesentliche steht auch da drin. Unser Hauptresultat ist dort nicht ganz so offensichtlich, weil das dortige Hauptresultat, das "Zerlegeungsgesetz" 5.8, nur aussagt, wie sich ganzzahlige Primzahlen in diesem Ring verhalten. Da in nicht jedes Primelement ganzzahlig ist, haben wir eine etwas stärkere Aussage gemacht.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

OK, ich weiß in was ich mich einlesen muss. Können wir da morgen weitermachen?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mir noch nicht sicher, ob ich morgen länger hier online sein kann, aber irgendjemand wird dir sicher helfen können. Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke soweit. Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bei der Assoziiertheit spielt die Einheitengruppe eine Rolle, vielleicht möchtest du noch zeigen, dass .


Hi,

bin gerade dabei die Dinge über Z[i] zusammenzuschreiben. Durch nachrechnen kam ich für z,z' aus Z[i] auf N(zz')=N(z)N(z'). Damit folgt für invertierbare Elemente, also alle z für die es ein z' gibt mit zz'=1 folgt dann 1=N(1)=N(zz')=N(z)N(z'). Da N nach INo abbildet, muss gelten N(z)=N(z')=1.
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, wobei du nicht hättest nachrechnen müssen, dass multiplikativ ist. Sieh es entweder als Einschränkung des komplexen Absolutbetrags an, woraus die Multiplikativität folgen würde, oder erkenne es als die Norm der Körpererweiterung (diese Normen sind immer multiplikativ).
Diese erhält man im Fall einer separablen Erweiterung stets als Produkt über die Einbettungen in den algebraischen Abschluss. Da hier der Galois-Automorphismus mit der komplexen Konjugation übereinstimmt, ist es nicht verwunderlich, dass wir tatsächlich die Einschränkung des komplexen Absolutbetrags erhalten.

Du hast gezeigt, dass invertierbare Elemente Norm 1 haben. Dass andererseits die Elemente von Norm 1 ihrerseits Einheiten sind, ist klar, oder? Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jester.

Du hast gezeigt, dass invertierbare Elemente Norm 1 haben. Dass andererseits die Elemente von Norm 1 ihrerseits Einheiten sind, ist klar, oder? Augenzwinkern


Ja, ist klar. Hatte ich auf Papier noch ergänzt, hier fehlte es. Freude
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