Mengenlehre: Elemente einer Menge

17.04.2011, 02:05

Kel

Mengenlehre: Elemente einer Menge

So, soweit ich weiss gehört Mengenlehre zur Algebra, wenn nicht bitte verschieben smile

.

Ich lerne grade die Grundlagen der Mengenlehre, also erste Vorlesung und erste Übung. Soweit verstehe ich die Sachen auch, nur die Übung macht mir etwas zu schaffen.

Zitat:

Aufgabe 1) Geben Sie alle Elemente der folgenden Menge an: {1,a,2,b,3,c,4,d}
Aufgabe 2) Geben Sie alle Elemente der folgenden Menge an: {1,{a},{2},b}
Aufgabe 3) Wieviele Elemente hat folgende Menge? A = {{ },{0,{}}}

Also die absoluten Grundlagen.
Jetzt meine Frage: Was soll ich da antworten?

Zu 1) wäre meine Antwort -> Elemente der Menge sind 1,2,3,4,a,b,c,d (Reihenfolge der Elemente ist ja egal laut Skript)
Oder: M={1,2,3,4,a,b,c,d}
Oder: M={x |x"e"N und 0<x<_4 und dann weiss ich nicht, wie man Buchstaben ausdrückt mit x ist Element von " " etc)
Da gibt es halt irgendwie total viele Möglichkeiten, das zu beantworten?

Zu 2) weiss ich nicht, was die Elemente mit den extra {} bedeuten oder ob sie überhaupt eine Bedeutung haben?
Wenn sie nichts bedeuten, wäre meine Antwort -> Elemente der Menge sind 1,2,a,b
PS: Mit dem Tutorzitat glaube ich, dass {} in einer Mege einfach gekapselte Mengen sind, aber wozu sind die gut? {{};{0; {}}} wäre der Kandidat, aber wieso schreibt man nicht einfach {{},0}?

Zu 3) gab es eine Diskussion im Uniboard mit einem Tutor, die ich hier mal zitiere:

Zitat:

Q:Ich hätte da eine Frage die hier gerade mit Mehreren Leuten diskutiert wird Wird die leere Menge als Elemten bei der Berechnung der anzahl der Elemente dazu gerechnet?? |A|=2 |{{};{0; {}}}|=2 (A hat 2 Elemente 0 und {}) ???????????

A:Wenn die leere Menge ein Element der zu untersuchenden Menge ist, dann ja. Die Menge M={{}} hat also 1 Element, nämlich die leere Menge {}. M selbst ist also auch nicht leer.
Was du oben angegeben hast sind im übrigen nicht die Elemente von A.

Q:Das hat mich mehr verwirrt als geholfen, meinst du das so?
A= {{};{0; {}}} dann hat A zwei Elemente {0{}} und {}

Darauf gab es aber nur die Antwort, dass es keine Antwort geben kann, weil Lösungen nicht verraten werden.
Mich irritiert vor allem das "Was du oben angegeben hast sind im übrigen nicht die Elemente von A.".
Ich sehe bei der Aufgabe mit meinem Wissen zwei Elemente bei A, nämlich die leere Menge {} und {0}, stimmt das soweit? Und kann ich dass dann einfach hinschreiben wie bei 1) und 2)?

Wenn mir jemand helfen könnte, wäre ich sehr dankbar.

17.04.2011, 02:49

Merlinius

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Schreibt ihr wirklich $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ ? Das ist ja das totale Chaos.

Also, $\begin{eqnarray*} \{a\} \end{eqnarray*}$ ist etwas anderes als $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Von daher hat die z.B. die Menge $\begin{eqnarray*} \{1, 2, \{3, 4, 5\}\} \end{eqnarray*}$ genau drei Elemente, und die Menge $\begin{eqnarray*} \{1, \{1\}\} \end{eqnarray*}$ hat zwei Elemente.

Also zu 1) ist Deine Lösung richtig, also einfach "1, 2, 3, 4, a, b, c, d". Der Rest ist unnötig. Du sollst nur die Elemente nennen, nicht irgendwelche Formeln dafür entwickeln.

zu 2) Wie gesagt. Natürlich bedeuten die Klammern "{" etwas. Also ist a kein Element der Menge, {a} jedoch schon. Stell Dir die Mengenklammern jeweils als Sack vor. "a" ist einfach nur ein a, jedoch ist {a} ein Sack, der a enthält. Und die leere Menge ist dementsprechend ein leerer Sack - also ist die leere Menge nicht einfach nichts, sondern etwas, das selbst zwar existiert, aber nichts weiteres enthält! Daher wäre z.B. $\begin{eqnarray*} \{\emptyset\} = \{\{\}\} \end{eqnarray*}$ ein Sack, der einen leeren Sack enthält - hat also genau ein Element.

zu 3) Die Menge hat zwei Elemente, nämlich $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{0, \{\}\} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Kel
PS: Mit dem Tutorzitat glaube ich, dass {} in einer Mege einfach gekapselte Mengen sind, aber wozu sind die gut? {{};{0; {}}} wäre der Kandidat, aber wieso schreibt man nicht einfach {{},0}?

In der Mathematik behandelt man ständig Mengen, die wiederum ganze Mengen enthalten, darum muss man die "kapseln". Stell dir vor, ich habe eine Urne mit vier Kugeln, beschriftet mit 1-4, ich greife einmal hinein und ziehe gleichzeitig zwei Kugeln. Jetzt will ich aufschreiben, was passieren kann:

{{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 3}, {2, 4}, {3, 4}}

Ohne den Gebrauch der inneren Klammern kann ich das gar nicht darstellen. Die Notation hat schon ihren Grund.

17.04.2011, 03:11

Kel

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Ja, auf dem Übungsblatt steht { } für ein leeres Element (oder für eine leere Menge?)

Okay, soweit klingt das alles gut smile

.
Nur zu zwei hätte ich noch eine Frage

Zitat:

Also ist a kein Element der Menge, {a} jedoch schon

Die Menge lautet ja {1,{a},{2},b}, wieso wäre den "a" kein Element der Menge? Dann wären ja "1" und "b" auch keine Elemente der Menge, sondern nur {a} und {2}?
{a} ist also eine Menge in der Menge, aber die "1" steht ja auch in "{", wenn auch nur als Einzelelement.

Mengen in Mengen klingen mit dem Beispiel gut, werd ich mir merken smile

.
Danke für deine Hilfe.

Eine weitere Frage ist aufgetaucht:

Zitat:

Geben sie die Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) der folgenden Mengen an (Sie müssen die Mengen nicht explizit angeben!)
1) AxA
2) (AuC) x (BuC)
3) P(BxC)

Das erste ist ja ein karthesisches Produkt, also einfach die Anzahl aller Kombinationen (wie Groß Omega in Statistik - die Menge aller Elementarereignisse) als Zahl hinschreiben.
Bei 2) und 3) dann wohl das gleiche, "ausrechnen", aufschreiben, durchzählen, Zahl hinschreiben.
Soweit richtig vom Gedankengang her?

17.04.2011, 03:25

Merlinius

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Zitat:

Original von Kel
Ja, auf dem Übungsblatt steht { } für ein leeres Element (oder für eine leere Menge?)

Okay, soweit klingt das alles gut smile

.
Nur zu zwei hätte ich noch eine Frage

Zitat:

Also ist a kein Element der Menge, {a} jedoch schon

Natürlich sind 1 und b auch Elemente der Menge. Sie stehen ja schließlich drin. Die kann man nicht einfach überlesen. Also hast Du vier Elemente: 1, {a}, {2}, b.

Du kannst Dir einfach vorstellen, Du machst die beiden Klammern ganz links und ganz rechts weg, und was dann da steht und durch Komma abgetrennt ist, sind die Elemente der Menge.

Zitat:

Eine weitere Frage ist aufgetaucht:

Zitat:

Geben sie die Mächtigkeit (Anzahl der Elemente) der folgenden Mengen an (Sie müssen die Mengen nicht explizit angeben!)
1) AxA
2) (AuC) x (BuC)
3) P(BxC)

Ja, genau. Ihr habt sicher das kartesische Produkt in der Vorlesung definiert, also die Menge der geordneten Paare.

17.04.2011, 11:43

Kel

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Noch eine kleine Frage:
Angenommen, A={1,2,3,4}, B={100,200,300}, C={3,30,300}

Aufgabe: (AuC) x (BuC)
AuC = {1,2,3,3,4,30,400}, BuC = {3,30,100,200,300}
Wenn ich davon jetzt das karthesische Produkt bestimme, wie mache ich das mit der Mächtigkeit der Mengen? Wegen der {3,3} bei AuC würde ja beim Kreuzprodukt 2x {3,3,} stehen.
Du hast gesagt

Zitat:

das kartesische Produkt in der Vorlesung definiert, also die Menge der geordneten Paare

In meinen Unterlagen ist nur die ganz einfache Erklärung, jetzt frage ich mich:
Werden die doppelten {3,3} in die Mächtigkeit miteinbezogen oder fallen sie raus, weil beim karthesischen Produkt geordnet wird und doppelte Elemente rausfallen (also "geordnet" werden)?

Beim normalen wäre die Mächtigkeit ja einfach |AuC| * |BuC|, also 7*5 = 35.
Wenn doppelte Elemente rausfallen, dann wäre die Zahl um eins kleiner wegen der {3,3}.

Bitte klär mich auf smile

17.04.2011, 12:45

Merlinius

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Also ich denke mal, dass es ein Tippfehler ist, aber ich kann mir nicht erklären, wo die 400 herkommen soll in $\begin{eqnarray*} A \cup B \end{eqnarray*}$

Elemente werden nicht doppelt gezählt. Entweder ein Element ist in einer Menge oder nicht. (Es gibt sogenannte Multimengen, wo dies anders ist, aber das soll dich jetzt nicht interessieren.) Wenn Du etwa A mit sich selbst vereinigst: $\begin{eqnarray*} A \cup A = A \end{eqnarray*}$ dann hast Du nicht plötzlich doppelt so viele Elemente.

Demnach ist hier $\begin{eqnarray*} A \cup C = \{1, 2, 3, 4, 20, 300\} \end{eqnarray*}$

Das solltet Ihr aber eigentlich auch in der Vorlesung oder in der Schule gelernt haben. Ist das Analysis I oder Lineare Algebra I, oder etwas ganz anderes?

Also ich gebe Dir mal ein Beispiel $\begin{eqnarray*} \{0, 1\}\times\{0, 1\} = \{(0,0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\} \end{eqnarray*}$ , oder $\begin{eqnarray*} \{1, 2\} \times \{3, 4, 5\} = \{(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)\} \end{eqnarray*}$

Menge der geordneten Paare sagt einem hier, dass es etwas anderes ist, ob ich $\begin{eqnarray*} (0, 1) \end{eqnarray*}$ habe oder $\begin{eqnarray*} (1, 0) \end{eqnarray*}$ .

Wie Du dann die Mächtigkeit des kartesischen Produkts bestimmst, sollte klar sein.

17.04.2011, 12:53

Kel

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Ja war ein Tippfehler, editieren geht aber nicht mehr. Da soll "300" hin.
Ich war nur etwas verwirrt, was passiert, wenn Mengen mit teils gleichen Elementen vermengt werden, also z.B. {1,2,3,4} x {1,2,3} und wie das dann mit der Mächtigkeit aussieht.

Quizfrage: Ist es erlaubt, bei der Aufgabe auch {1,2,3,3,4,30,300} zu schreiben? Ist ja das gleiche wie {1,2,3,4,30,300}, wenn man die Formel |A|*|B| für die Mächtigkeit anwendet, kommen da ja aber unterschiedliche Ergebnisse raus.
Oder ist das so ein trickreiches Ding, dass es zwar geht, man dann aber noch die einzelnen Elemente auf doppelte untersuchen muss, wenn man das so anwendet? Big Laugh

Vorlesung ist Mathematische Strukturen der Uni Duisburg-Essen.

17.04.2011, 13:12

Merlinius

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Zitat:

Original von Kel
Ja war ein Tippfehler, editieren geht aber nicht mehr. Da soll "300" hin.
Ich war nur etwas verwirrt, was passiert, wenn Mengen mit teils gleichen Elementen vermengt werden, also z.B. {1,2,3,4} x {1,2,3} und wie das dann mit der Mächtigkeit aussieht.

Quizfrage: Ist es erlaubt, bei der Aufgabe auch {1,2,3,3,4,30,300} zu schreiben? Ist ja das gleiche wie {1,2,3,4,30,300}, wenn man die Formel |A|*|B| für die Mächtigkeit anwendet, kommen da ja aber unterschiedliche Ergebnisse raus.
Oder ist das so ein trickreiches Ding, dass es zwar geht, man dann aber noch die einzelnen Elemente auf doppelte untersuchen muss, wenn man das so anwendet? Big Laugh

Ja, theoretisch kann man es auch so schreiben, aber das würde einem Außenstehenden eher den Eindruck vermitteln, dass Du das Konzept nicht verstanden hast.

Bei der Berechnung der Mächtigkeit interessiert dann nur die Anzahl der unterschiedlichen Elemente. Das heißt, auch wenn Du ein Element doppelt aufzählst, zählt es natürlich nur einmal in die Mächtigkeit hinein. Also $\begin{eqnarray*} |\{2\}| = |\{2, 2, 2, 2\}| = 1 \end{eqnarray*}$

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