Vereinigung von Mengen

17.04.2011, 12:52

Pascal95

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Vereinigung von Mengen

Hallo,

die Vereinigungsmenge/Schnittmenge ist ja definiert als:
[attach]19105[/attach]
Soweit habe ich das verstanden (U ist hier eine Mengenfamilie mit mehreren Mengen als Elemente).

Allerdings habe ich schon etwas von "Disjunkter Vereinigung" gehört.
Dazu gab es dann bei Wikipedia zwei verschieden Definitionen, die ich beide nicht verstanden habe.
Bedeutet jetzt "disjunkte Vereinigung" soetwas, dass diese Elemente in der Vereinigungsmenge NUR von genau einer Menge in U enthalten sein dürfen (dass es also genau ein a gibt, dass "x Element von a" ist)???
[attach]19106[/attach]

Das würde ja bedeuten, dass die disjunkte Vereinigung von A und B so aussehen würde:
[attach]19110[/attach]
weil 2 und 3 in beiden Mengen enthalten ist.

Vielen Dank
Pascal

17.04.2011, 18:01

Roman Oira-Oira

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Zur disjunkten Vereinigung siehe den Thread Mengenlehre, in dem ich letzte Woche bereits einiges dazu geschrieben habe.

Zu den beiden Definitionen in Wikipedia: Disjunkte Vereinigung:

Die erste Definition geht davon aus, daß die zu vereinigenden Mengen bereits paarweise disjunkt zueinander sind, d.h. paarweise keine gemeinsamen Elemente haben.

Bei der zweiten Definition werden die zuvereinigenden Mengen "künstlich" disjunkt zu einander gemacht, indem in jeder Menge die Elemente durch ein geordnetes Paar ersetzt werden, das als einen Teil das ursprüngliche Element enthält und zum anderen den Index der Menge, aus der es stammt. Da sich nun die Elemente verschiedener Mengen (also die geordneten Paare) mindestens in ihrem Index unterschieden, sind alle Mengen paarweise disjunkt und können nun entsprechende Definition 1 vereinigt werden.

Das von Dir vorgeschlagene Ergebnis zur disjunkten Vereinigung ist jedenfalls falsch!
-------------

Zu den von Dir gegebenen Definitionen der Schnittmenge und der Vereinigungsmenge: Hast Du diese Definitionen selbst aufgeschrieben oder stammen sie aus einem Buch?

Sie erscheinen mir auf den ersten Blick als falsch!
Daß es sich bei U um eine Menge von Mengen habe ich dabei bereits beachtet)

17.04.2011, 20:17

Pascal95

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Nun, den Wikipedia Artikel kenne ich schon.
Den habe ich ja nicht verstanden.

Diese Definitionen habe ich mir selbst überlegt und scheinen mir richtig zu erscheinen.
Man hat eine Menge U.
Die Schnittmenge ist die Menge die all die Elemente x enthält mit der Eigenschaft:
Alle Mengen a in U enthalten x (x ist in allen a von U drin).

Was bedeutet denn "paarweise disjunkt"?

17.04.2011, 20:37

Roman Oira-Oira

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Bleiben wir doch zunächst beim Thema Disjunkte Vereinigung.
Über Deine Definitionen können wir uns ja später noch unterhalten.

Zitat:

Original von Pascal95
Was bedeutet denn "paarweise disjunkt"?

Was verstehtst Du daran nicht? Ich habe es in meinem Beitrag oben bereits erklärt! Nochmal:

Zitat:

Original von Roman Oira-Oira
... Mengen bereits paarweise disjunkt zueinander sind, d.h. paarweise keine gemeinsamen Elemente haben.

Was gibt es daran nicht zu verstehen, daß jeweils zwei Mengen (von mehreren) keine gemeinsamen Elemente haben, ihre Schnittmenge also leer ist?

Und einfach allgemein zu sagen, "verstehe ich nicht", damit können wir garnichts anfangen! Wenn Du tatsächlich garnichts verstehen würdest, wärst Du wahrscheinlich Analphabet oder würdest eine fremde Sprache sprechen.

Was genau verstehst Du a) in dem Thread nicht, den ich Dir genannt habe, bzw. b) in dem Wikipedia-Artikel?

17.04.2011, 20:42

Pascal95

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"Paarweise Disjukt" bedeutet also, dass irgendwelche 2 Mengen aus dieser Mengenfamilie disjunkt zueinander sind?
Man hat z.B. 5 Mengen in U. Es sind dann 1 zu 2 disjunkt, 2 zu 3, 3 zu 4 und 4 zu 5?

17.04.2011, 20:50

Pascal95

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Jetzt habe ich mich noch ein bisschen eingelsen.

"Paarweise Disjunkt" ist eine strengere Forderung als nur disjunkt.
Wenn Mengen zueinander paarweise disjunkt sind, so haben alle unterschiedliche ELemente, denn wenn man beliebige (2 stück) Mengen nimmt und sie vergleicht, so haben sie keine gemeinsamen elemente -> Paarweise Disjunkte Mengen haben in jeder Menge unterschiedliche ELemente.

Edit:
Disjunkt sind also Mengen, bei denen es KEIN Elemente gibt, dass in allen Mengen enthalten ist.
Paarweise disjunkt sind dann Mengen, bie denen immer 2 beliebige Mengen disjunkt sind.

Beispiel:
A={5,2}
B={1,3}
C={3,4}

Diese Mengen sind disjunkt denn die Schnittmenge $\begin{eqnarray*} A \cap B \cap C = \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ . Es gibt also kein Element, dass in allen Mengen (A und B und C) enthalten ist.

Diese Mengen sind NICHT paarweise disjunkt, weil es zwei Mengen gibt, die nicht disjunkt sind ( $\begin{eqnarray*} B \cap C = \left\{ 3 \right\} \not= \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ )

So richtig verstanden?

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17.04.2011, 20:59

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Pascal95
"Paarweise Disjukt" bedeutet also, dass irgendwelche 2 Mengen aus dieser Mengenfamilie disjunkt zueinander sind?
Man hat z.B. 5 Mengen in U. Es sind dann 1 zu 2 disjunkt, 2 zu 3, 3 zu 4 und 4 zu 5?

Genau so! Aber auch1 zu 3, 1 zu 4, ..., usw., usw.

Und bei der zweiten Definition ist es so, daß sie eben nicht als paarweise disjunkt vorausgesetzt werden, die Schnittmenge von jeweils zwei Mengen also nicht leer ist.

17.04.2011, 21:10

Pascal95

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Gibt es sonst Unterschiede?
Wird also einfach vorrausgesetzt, dass die Mengen paarweise disjunkt sind und dann kann man einfach vereinigen, weil kein Element in der Vereinigung mehrfach auftreten würde. (?)

17.04.2011, 21:29

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Pascal95
"Paarweise Disjunkt" ist eine strengere Forderung als nur disjunkt.

Nein, das hat mit strenger nichts zu tun!

a) Wenn man nur zwei Mengen betrachtet, so redet man davon, daß sie entweder disjunkt oder nicht disjunkt zueinander sind, d.h. die Schnittmenge leer ist.

b) Betrachtet man mehrere Mengen (mehr als zwei), so sagt man, daß sie genau dann disjunkt zu einander sind, wenn sie jeweils paarweise disjunkt sind, wenn also jeweils zwei dieser Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, also disjunkt sind (wie unter a) definiert).

Zitat:

Original von Pascal95
Beispiel:
A={5,2}
B={1,3}
C={3,4}

Diese Mengen sind disjunkt denn die Schnittmenge $\begin{eqnarray*} A \cap B \cap C = \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ . Es gibt also kein Element, dass in allen Mengen (A und B und C) enthalten ist.

Diese Mengen sind NICHT paarweise disjunkt, weil es zwei Mengen gibt, die nicht disjunkt sind ( $\begin{eqnarray*} B \cap C = \left\{ 3 \right\} \not= \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ )

So richtig verstanden?

Nein, leider nicht! Das Beispiel ist komplett falsch begründet!

Nochmals: "disjunkt" und "paarweise disjunkt" sind keine Eigenschaften, die in irgend einer "strenger als"-Beziehung zueinander stehen.

Die Mengen im Beispiel sind ganz einfach nicht disjunkt! Eben weil nicht zwei der Mengen paarweise disjunkt sind zu einander sind. Es gibt also ein Paar von Mengen unter ihnen, B und C, die nicht disjunkt zu einander sind.

Formal:

Die Mengen $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} i \in I \subseteq \mathbb N \end{eqnarray*}$ sind paarweise disjunkt genau dann, wenn gilt $\begin{eqnarray*} \forall i, j \in I : i \neq j \rightarrow M_i \cap M_j = \{\} \end{eqnarray*}$

Die Mengen $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ sind nicht paarweise disjunkt, also auch nicht disjunkt, genau dann, wenn gilt $\begin{eqnarray*} \exists i, j \in I : M_i \cap M_j \neq \{\} \end{eqnarray*}$

17.04.2011, 21:34

Pascal95

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Das würde ich nun echt gerne üben.
Für 2 Mengen sollte das zuerst noch kein Problem sein.
Hast du vielleicht Beispiele, über die man reden kann?

Ich denke, dass ich nur durch Üben und viel Rückmeldung lernen kann.

17.04.2011, 21:43

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Pascal95
Gibt es sonst Unterschiede?
Wird also einfach vorrausgesetzt, dass die Mengen paarweise disjunkt sind und dann kann man einfach vereinigen, weil kein Element in der Vereinigung mehrfach auftreten würde. (?)

Ja!

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A = \{1, 2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = \{3, 4\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C = \{5, 6\} \end{eqnarray*}$

Diese Mengen sind disjunkt zueinander, weil die Mengen paarweise zu einander disjunkt sind: $\begin{eqnarray*} A \cap B = \{\} \wedge A \cap C = \{\} \wedge B \cap C = \{\} \end{eqnarray*}$ .

Also ist die Vereinigung disjunkt, weil die vereinigten Mengen paarweise disjunkt zu einder sind: $\begin{eqnarray*} A \cup B \cup C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \end{eqnarray*}$

Dies alles entsprach bis jetzt der ersten Definition in Wikipedia.

Wo ist der Unterschied zwischen einer disjunkten Vereinigung und der "normalen" Vereinigung?

Zum Beispiel können wir bei einer disjunkten Vereinigung schließen, daß die Mächtigkeit der einzelnen Mengen gleich ist er Mächtigkeit der disjunkten Vereinigung, also mit den Beispielmengen oben:

$\begin{eqnarray*} |A| + |B| + |C| = |A \cup B \cup C| \end{eqnarray*}$

Bei der "normalen" Vereinigung kann dies nicht geschlossen werden, höchstens $\begin{eqnarray*} |A| + |B| + |C| \leq |A \cup B \cup C| \end{eqnarray*}$

Hierbei ist es übrigens egal, mit welcher Definition des Wiki-Artikels wir arbeiten.

17.04.2011, 21:48

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Pascal95
Das würde ich nun echt gerne üben.
Für 2 Mengen sollte das zuerst noch kein Problem sein.
Hast du vielleicht Beispiele, über die man reden kann?

Ich denke, dass ich nur durch Üben und viel Rückmeldung lernen kann.

Hast Du denn nun auch die zweite Definition in Wiki verstanden?

17.04.2011, 21:50

Pascal95

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Wenn man nun bei der ersten Variante bleibt: Hier ist es wohl notwendig, dass die Mengen paarweise disjunkt sind.

Wenn man beliebig viele Mengen betrachtet. Stimmt dann folgendes? :
Diese Mengen sind disjunkt, genau dann, wenn es kein Element gibt, dass in 2 beliebigen Mengen von enthalten ist.

Edit: Die zweite Variante scheint mir noch unklar(er). Selbst bei der ersten bin ich mir nicht ganz sicher. Es ist also notwendig, dass die Mengen disjunkt sind?

17.04.2011, 22:13

Pascal95

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So ganz klar ist mir gar nichts.
Ist es richtig, dass man also immer Mengen vereinigen darf, auch wenn sie nicht disjunkt sind.
Eine Mengenfamilie ist disjunkt, wenn jede Menge Elemente enthält, die in keiner anderen Menge vorhanden ist. (?)

17.04.2011, 22:24

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Pascal95
Wenn man nun bei der ersten Variante bleibt: Hier ist es wohl notwendig, dass die Mengen paarweise disjunkt sind.

Korrekt!

Zitat:

Original von Pascal95
Wenn man beliebig viele Mengen betrachtet. Stimmt dann folgendes? :
Diese Mengen sind disjunkt, genau dann, wenn es kein Element gibt, dass in 2 beliebigen Mengen von enthalten ist.

Ja, das sollte eigentlich äquivalent zu meiner Ausdrucksweise sein - welche aber die einzige ist, für die ich unterschreibe:

"Diese Mengen sind disjunkt, genau dann, wenn es keine zwei beliebige Mengen (unter allen betrachteten Mengen) gibt, die gemeinsame Elemente haben."

Na gut, Du sollst Deine Aufgabe haben:

Aufgabe 1)

Bilde die disjunkte Vereinigung der folgenden Mengen:

$\begin{eqnarray*} A = \{1, 3, 5, 7, 11\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = \{2, 4, 6, 8, 15\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C = \{7, 3, 2, 4\} \end{eqnarray*}$

Aufgabe 2)

Bilde die disjunkte Vereinigung der folgenden Mengen:

$\begin{eqnarray*} A = \{n \in \mathbb N | n = 2 \cdot k, \,\, \forall k \in \mathbb N^{\geq 1}\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = \{n \in \mathbb N | n = 2 \cdot k -1, \,\, \forall k \in \mathbb N^{\geq 1}\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C = \{0\} \end{eqnarray*}$

17.04.2011, 22:43

Pascal95

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Vielen Dank.

zu Afg1) Diese Mengen sind nicht disjunkt weil es Mengen gibt, die nicht disjunkt sind.

Edit: Das wären (A,C) bzw. (B,C)
Damit meine ich, dass A und C nicht disjunkt sind und B und C nicht disjunkt sind.

Nun versuche ich mich an der Vereinigung:
Dazu müssten sie doch disjunkt sein, oder?
Ansonsten "normale" Vereinigung: [attach]19120[/attach]

17.04.2011, 22:56

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Pascal95
So ganz klar ist mir gar nichts.
Ist es richtig, dass man also immer Mengen vereinigen darf, auch wenn sie nicht disjunkt sind.

Ja warum denn auch nicht? Das ist dochnun wirklich eine der elementarsten Mengenoperationen, die man schon in irgendwelchen unteren Schulklassen lernt. Nur ist die Vereinigung dann eben nicht disjunkt!

Zitat:

Original von Pascal95
Eine Mengenfamilie ist disjunkt, wenn jede Menge Elemente enthält, die in keiner anderen Menge vorhanden ist. (?)

Nein, ganz falsch! Wir haben die Definition doch nun wirklich einigemale durchgekaut (paarweise disjunkt usw.)!

Deine Formulierung reicht nicht! Selbst wenn sie gilt, kann es immer noch Mengen geben, die gemeinsame Elemente haben. Analysiere doch einmal Deinen Satz darauf hin! Versuche doch mal, Deine Formulierung in eine prädikatenlogische Formel zu übersetzen - vielleicht siehst Du dann, was damit los ist.

17.04.2011, 23:02

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Pascal95
Vielen Dank.

zu Afg1) Diese Mengen sind nicht disjunkt weil es Mengen gibt, die nicht disjunkt sind.

Edit: Das wären (A,C) bzw. (B,C)
Damit meine ich, dass A und C nicht disjunkt sind und B und C nicht disjunkt sind.

Korrekt!

Zitat:

Original von Pascal95
Nun versuche ich mich an der Vereinigung:
Dazu müssten sie doch disjunkt sein, oder?
Ansonsten "normale" Vereinigung: [attach]19120[/attach]

Du sollst aber die disjunkte Vereinigung bilden!
Siehe Aufgabe!
Und denke an die zweite Definition in Wiki!

PS: Ich mache für heute Schluß! Morgen Abend bin ich wieder da.

Bis dann, wenn Du Lust hast!
Gruß Roman.

17.04.2011, 23:05

Pascal95

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Wie du hier

Zitat:

Original von Roman Oira-Oira
b) Betrachtet man mehrere Mengen (mehr als zwei), so sagt man, daß sie genau dann disjunkt zu einander sind, wenn sie jeweils paarweise disjunkt sind, wenn also jeweils zwei dieser Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, also disjunkt sind (wie unter a) definiert).

geschrieben hast, so kann man doch sagen (dass es für mich auch wirklich klar ist), dass diese beliebig (>2) vielen Mengen genau dann disjunkt sind, wenn jede Menge andere Elemente enthält als irgendeine andere. Man prüft also "jede mit jeder" um zu sehen, ob diese Menge disjunkt ist (die Mengen sind dann paarweise disjunkt).

18.04.2011, 00:01

Pascal95

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Wenn du dir das folgende morgen Abend mal durchliest, wirst du mich vielleicht loben können. Diese neue Schreibweise hat mich anfangs einfach zu sehr verwirrt. Als ich mir den Wiki-Artikel noch einmal ruhig angesehen habe, ist mir mehr klar geworden (in Kombination mit deinem ersten Beitrag).

[attach]19121[/attach]

So habe ich die Aufgabe gelöst.

Würdest du folgenden Kommentar auch als richtig einstufen (?):
Wenn nach der disjunkten Vereinigung gefragt ist, so soll man zuerst die erste Variante wählen, die davon ausgeht, dass die Mengen disjunkt sind (es also nur paarweise disjunkte Mengen gibt). Wenn dies nicht der Fall ist, so benutzt man die zweite Variante.

18.04.2011, 00:14

Pascal95

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-sorry-

18.04.2011, 00:15

Pascal95

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Ab zur nächsten Aufgabe (viel Spaß beim Lesen meiner Gedankenzüge).
[attach]19123[/attach]

---
Habe ich hoffentlich richtig verstanden:
Wikipedia: Partition (Mengenlehre)

18.04.2011, 12:08

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Original von Pascal95
Wie du hier

Zitat:

Original von Roman Oira-Oira
b) Betrachtet man mehrere Mengen (mehr als zwei), so sagt man, daß sie genau dann disjunkt zu einander sind, wenn sie jeweils paarweise disjunkt sind, wenn also jeweils zwei dieser Mengen keine gemeinsamen Elemente haben, also disjunkt sind (wie unter a) definiert).

geschrieben hast, so kann man doch sagen (dass es für mich auch wirklich klar ist), dass diese beliebig (>2) vielen Mengen genau dann disjunkt sind, wenn jede Menge andere Elemente enthält als irgendeine andere. Man prüft also "jede mit jeder" um zu sehen, ob diese Menge disjunkt ist (die Mengen sind dann paarweise disjunkt).

Ich nutze mal die Mittagspause, um schnell noch meinen Kommentar abzugeben

Du wirst wohl das Richtige meinen, formulierst es aber so, daß es nicht stimmt bzw. krumm und schief ausgedrückt ist!

Diese ältere Formulierung ist auf jeden Fall Blödsinn:

Zitat:

Original von Pascal95
Eine Mengenfamilie ist disjunkt, wenn jede Menge Elemente enthält, die in keiner anderen Menge vorhanden ist. (?)

Hier ein Gegenbeispiel dazu:

$\begin{eqnarray*} A = \{1, 2\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B = \{1, 3\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C = \{4\} \end{eqnarray*}$

Entsprechend Deiner Formulierung enthält jede dieser drei Mengen Elemente, die in keiner der anderen Mengen enthalten sind.

A enthält 2 - die 2 ist in keiner der anderen Mengen, B bzw. C enthalten.
B enthält 3 - die 3 ist in keiner der anderen Mengen, A bzw. C enthalten.
C enthält 4 - die 4 ist in keiner der anderen Mengen, A bzw. B enthalten.

Und natürlich sind A, B, und C nicht disjunkt, da $\begin{eqnarray*} A \cap B \neq \{\} \end{eqnarray*}$ ist.

Das wirst Du höchstwahrscheinlich nicht so gemeint haben - Du hast es aber genau so formuliert. Also ist diese Formulierung kein korrektes Kriterium dafür, daß die Mengen disjunkt sind!

Zitat:

Original von Pascal95
Man prüft also "jede mit jeder" um zu sehen, ob diese Menge disjunkt ist (die Mengen sind dann paarweise disjunkt).

Das ist wieder korrekt!

Am besten ist es wohl, wenn Du dich an genau das formale Kriterium hälst, daß ich bereits weiter oben prädikatenlogisch formuliert habe.

Wir betreiben hier Mathematik, und da kommt es wirklich darauf an, bei Formulierungen von Definitionen, Voraussetzungen, Folgerungen etc. extrem pingelig korrekt zu sein! Was nutzt es, wenn Du Dir eine mehr oder weniger schwammige Vorstellung machst und diese dann auch noch unkorrekt ausdrückst. Da ist es dann nicht mehr möglich, zu einem gemeinsamen Verständnis zu kommen und korrekte Folgerungen zu ziehen.

18.04.2011, 12:13

Roman Oira-Oira

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Dein Ergebnis zu Aufgabe 1: Korrekt!
Lob, Lob, Lob!

Zitat:

Original von Pascal95
Würdest du folgenden Kommentar auch als richtig einstufen (?):
Wenn nach der disjunkten Vereinigung gefragt ist, so soll man zuerst die erste Variante wählen, die davon ausgeht, dass die Mengen disjunkt sind (es also nur paarweise disjunkte Mengen gibt). Wenn dies nicht der Fall ist, so benutzt man die zweite Variante.

OK, so kannst Du es Dir vorstellen.

18.04.2011, 12:19

Roman Oira-Oira

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Alles zu Aufgabe 2 ist korrekt!
Nochmals Lob!

Bis später dann!
Ich schalte wieder ab!

18.04.2011, 14:50

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe.
Bisher hat es mir sehr viel gebracht, ich hätte nicht gedacht, dass ich in der Lage sei, das doch noch zu verstehen.
Vielleicht kannst du noch sagen, ob man allgemein sagen kann, dass die "normale Vereinigung" identisch mit der disjunkten Vereinigung (erste Variante von Wikipedia) ist, wenn die Mengen disjunkt sind.
Denn die erste Variante von Wiki geht davon aus, dass die Mengen disjunkt sind und dann ist die "normale Vereinigung" doch dasselbe wie die "disjunkte" (1.Variante wiki).

Darf man in Afg1 denn hier den Begriff der Partition nennen?
Schließlich sind A,B,C Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ , die insgesamt vereinigt vollständig $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ ergeben.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 = A \cup B \cup C = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,...\right\} \end{eqnarray*}$

So darf man doch sagen, dass die Mengenfamilie $\begin{eqnarray*} P = \left\{A , B, C \right\} \end{eqnarray*}$ eine Partition von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ ist, da diese Mengen disjunkt sind und vereinigt komplett $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ ergeben.

Ich stütze mich auf folgende Definition:
Wikipedia: Partition (Mengenlehre)

Pascal

19.04.2011, 00:27

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Pascal95
Vielleicht kannst du noch sagen, ob man allgemein sagen kann, dass die "normale Vereinigung" identisch mit der disjunkten Vereinigung (erste Variante von Wikipedia) ist, wenn die Mengen disjunkt sind.
Denn die erste Variante von Wiki geht davon aus, dass die Mengen disjunkt sind und dann ist die "normale Vereinigung" doch dasselbe wie die "disjunkte" (1.Variante wiki).

Genau, das kann man sagen.

Die Mengenoperatio, die man ausführt, ist ja nichts anderes als die "normale" Vereinigung. Vielleicht sollte man besser sagen, daß das Ergebnis der Vereinigung eine disjunkte Vereinigung der Mengen ist, da die einzelnen Mengen disjunkt zueinander sind.

Zitat:

Original von Pascal95
Darf man in Afg1 denn hier den Begriff der Partition nennen?
Schließlich sind A,B,C Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ , die insgesamt vereinigt vollständig $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ ergeben.

$\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 = A \cup B \cup C = \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,...\right\} \end{eqnarray*}$

So darf man doch sagen, dass die Mengenfamilie $\begin{eqnarray*} P = \left\{A , B, C \right\} \end{eqnarray*}$ eine Partition von $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ ist, da diese Mengen disjunkt sind und vereinigt komplett $\begin{eqnarray*} \mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ ergeben.

Es handelt sich um Aufgabe 2! Aber ansonsten hast Du recht. Die Mengen A, B und C sind eine Partition der Menge N.

Übrigens herzlichen Glückwunsch zur ersten erfolgreichen Anwendung von Latex.

19.04.2011, 01:15

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Unterstützung!
Ich glaube, dass ich es allmählich verstanden habe! Idee!

Idee!

Leider habe ich nicht bemerkt, dass du geantwortet hast, sodass ich jetzt erst antworte.

Zitat:

Original von Roman Oira-Oira
Übrigens herzlichen Glückwunsch zur ersten erfolgreichen Anwendung von Latex.

Ups

Vielleicht hast du noch eine Übung smile

smile

19.04.2011, 02:31

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

wolltest du eigentlich noch was zu den definitionen am anfang sagen?

19.04.2011, 13:06

Roman Oira-Oira

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Pascal95
wolltest du eigentlich noch was zu den definitionen am anfang sagen?

Nein! Habe mir die Definitionen für Schnittmenge und Vereinigung der Mengenfamilien nochmals angeschaut. Sie sind OK!

19.04.2011, 14:06

Pascal95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann vielen Dank für deine Hilfe!

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