Orthonormalbasen

17.04.2011, 15:08

Camery

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Orthonormalbasen

Meine Frage:
Hallo, ich komme bei dieser Übungsaufgabe (bestehend aus 3 Teilaufgaben) nicht weiter. Ich hoffe, dass ich hier schnelle Hilfe bekomme:

A) welche der folgenden Mengen von 3 Vektoren bilden eine ONB des R ^{3} ?

i) (2,1,1) , (1,-2,0) , (2,1,-5)

ii) (1/wurzel2, 1/wurzel2, 0) ; (1/wurzel2, -1/wurzel2, 0) ; (0,0,1)

iii) (1,0,0) ; 1/wurzel2 (1,1,0) ; 1/wurzel2 ( 1,1,1)

Meine Ideen:
ich habe die einzelnen Vektoren normiert und über prüft, ob Skalarprodukt Null wird. nach meiner Berechnungen ergeben sich, dass nur (ii) eine orthonormale Basis in R ^3 bildet.

ist das bis hier richtig ?

17.04.2011, 15:15

Mazze

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Ja, das ist korrekt.

17.04.2011, 15:25

Camery

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Linearkombination
ok, danke für die schnelle Antwort , nun kommt d 2. Teil

b) Für die Fälle von Teilaufgabe a in denen keine ONB vorliegt, gib LINEARKOMBINATIONEN der gegebenen Vektoren an, die eine ONB bilden

i)

>> normieren ergibt (?) :

a'= ( 2/wurz6, 1/wurz6, 1/ wurz6 )

b'= (1/wurz3, -2/wurz3, 0)

c'=(2/wurz30, 1/wurz30, -5/wurz30)

Linearkombi habe ich es mir so vorgestellt ( bin mir aber gar nicht sicher)

z.B. für a' :

( 2/wurz6, 1/wurz6, 1/ wurz6 ) = ( 2/wurz6, 0, 0 ) + ( 0, 1/wurz6, 0 ) + ( 0, 0, 1/wurz6)

.

.

(iii) genauso

macht das Sinn ?

17.04.2011, 15:36

Mazze

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Warum hast Du den (richtigen) Latexcode entfernt? Du hattest lediglich vergessen den Code in die Latexumgebung zu packen (LATEX-HTMLTAG bzw. der f(x) Schalter beim erstellen eines Beitrages).

Mir ist nicht ganz klar was Du genau machst. Ich würde zunächst die Linearkombinationen daraufhin überprüfen, ob die Vektoren dann paarweise Orthogonal sind. Danach kann man sie immernoch normieren.

zu a )

Die Vektoren

(2,1,1),(1,-2,0)

sind bereits orthogonal. Ich würde mir also eine Linearkombination der 3 Vektoren überlegen, so dass der dritte auch orthogonal zu diesen beiden ist. Das kann man als folgendes Gleichungssystem formulieren :

$\begin{eqnarray*} \langle a,x \rangle = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b,x \rangle = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \lambda_1 a + \lambda_2 b + \lambda_3 c \end{eqnarray*}$

Dabei sind die Lambdas gesucht und a,b,c sind die entsprechenden ursprünglichen Vektoren und mit $\begin{eqnarray*} \langle x,y\rangle \end{eqnarray*}$ ist das (euklidische) Skalarprodukt der Vektoren x,y gemeint. (a = (2,1,1), b = (1,-2,0), c = (2,1,-5) )

17.04.2011, 16:06

Camery

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ich weiß nicht wie man den Code in LU packt sorry !
--------------------------------------------------------------------------

ok, ich habe lange nicht mit LA zu tun gehabt und habe vieles vergessen

ich hab nun 3 unbekannte (x1, x2, x3 ) und 2 Funktionen <a,x>=0 u. <b,x>=0

was schreibe ich in der Lambdagleichung (gaußverfahren ) in der rechten Seite ( antwortspalte) für X-Komponenten ? damit ich meine lambdas rauskriege ?

17.04.2011, 16:20

Mazze

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Zitat:

ich weiß nicht wie man den Code in LU packt sorry !

Wenn Du eine Antwort schreibst gibt es über dem Editor mehrere Auswahllisten (FONT,SIZE,COLOR). Da drunter sind Schalter. Der f(x) Schalter gibt dir die Latexumgebung.
Ansonsten kannst DU auch einfach die Formel manuell in die Latexumgebung packen :

code:
1:	[LATEX] FORMEL [/LATEX]

Ich schreib dir mal das erste Skalarprodukt hin :

$\begin{eqnarray*} \langle a,x \rangle = 2*(\lambda_1*2 + 1* \lambda_2 + 2\lambda_3) + 1*(\lambda_1 * 1 - \lambda_2*2 + \lambda_3*1) + 1 * (\lambda_1*1 - \lambda_3*5) \end{eqnarray*}$

Jetzt fasst Du alle Lambdaausdrücke zusammen , das selbe machst Du für $\begin{eqnarray*} \langle b,x \rangle \end{eqnarray*}$ .

Das lineare Gleichungssystem ist dann

$\begin{eqnarray*} \langle a,x\rangle = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \langle b,x \rangle = 0 \end{eqnarray*}$

Sprich, Du hast ein homogenes (rechte Seite = 0) lineares Gleichungssystem mit 3 unbekannten und 2 Gleichen. Du wirst also unendlich viele Lösungen bekommen. (Eine reicht uns ja Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Diese Lösungen betreffen die Lambdas. Wenn Du dir eine Lösung ausgesucht hast, setzt Du die Lambdas in

$\begin{eqnarray*} x = \lambda_1a + \lambda_2 b + \lambda_3c \end{eqnarray*}$

ein, und erhälst so deinen Vektor x. Anschließend werden die Vektoren noch normiert und Du erhälst deine ONB. Alternativ kannst Du das Gram-Schmidt Verfahren anwenden.

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17.04.2011, 17:14

Camery

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bis hier hab ich es gut verstanden, danke

Lambdaausdrücke zusammengefasst ergeben :

<a,x> = 6*lambda1
<b,x> = 5*lambda2

>> lambda 1,2 = 0

ich bekomme doch jetzt
lambda3.c= x

ich komme leider nicht weiter

17.04.2011, 17:42

Mazze

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Ich seh gerade das wir uns denn ganzen Kram hätten sparen können. Natürlich sind Lambda 1 und 2 gleich 0. Denn alle 3 Vektoren sind paarweise orthogonal.... Daher kann Lambda_3 auch beliebig gewählt werden. Um also für Teil a) eine ONB zu erhalten musst Du die Vektoren tatsächlich nur normieren.

Zu c) Hier sind die Vektoren nicht paarweise orthogonal. Allerdings ist der Vektor (1,0,0) sehr nett. Berehcne eine Linearkombination v von a und b , so dass v und c orthogonal sind. Im dritten Schritt kannst Du dann wie oben besprochen vorgehen.

Alternativ bietet sich natürlich Gram-Schmidt an.

17.04.2011, 17:58

Camery

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achso ! also (i) und (ii) bilden eine ONB in R^3
sorry mein Fehler

17.04.2011, 18:12

Mazze

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Nein, (i) bildet keine ONB, weil die Vektoren nicht die Norm 1 haben. Sie sind zwar paarweise orthogonal, aber da reicht nicht.

17.04.2011, 20:08

Camery

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ah gut zu wissen smile

smile

also nach gram-S (wenn ich alles richtig gemacht habe) erhalte ich für die angegeben Vektoren aus (iii) folgende Baisvektoren :

$\begin{eqnarray*} v_{1} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> <br /> v_{2} = \begin{pmatrix} 0\\ \frac{1}{\sqrt{2} } \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wenn ich nun $\begin{eqnarray*} v= \lambda _{1} a+\lambda _{2} b \end{eqnarray*}$ bestimme, bekomme ich für lambda 1,2 :

$\begin{eqnarray*} \lambda _{1} = -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda _{2} = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

ok so ?

18.04.2011, 09:47

Mazze

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Zitat:

ok so ?

Fast, wenn Du deine Lambdas so wählst, erhälst Du für v_2

$\begin{eqnarray*} v_{1} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} <br /> <br /> v_{2} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt noch den dritten. Dafür benutzt Du die 2 die Du hier jetzt hast (zuzüglich zum dritten).

20.04.2011, 10:21

Camery

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ja stimmt, und für v-3 bekommt man (0,0,1)

ich habe drei Basisvektoren die alle orthogonal zueinander stehen und normiert sind , die sind doch einfach die Basen von d Euklidischen Raum R^3 .... was heißt nun als Linearkombination angeben ? verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

?

20.04.2011, 10:40

Mazze

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Die Vektoren sind Linearkombinationen der ursprünglichen Vektoren. Sprich, Du hast alles was Du brauchst. Im Zweifel schrieb noch die Koeffizienten die Du genutzt hast mithin.

20.04.2011, 11:15

Camery

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ok danke, nun kommt das 3.Teil

sei :
$\begin{eqnarray*} c_{1} ,c_{2} \in R^{3} <br /> c_{1} \cdot c_{2} = 0 \end{eqnarray*}$

man sollte eine allg. möglichkeit finden eine orthonormale Basis $\begin{eqnarray*} a_{1}, a_{2}, a_{3} \in R^{3} \end{eqnarray*}$ zu finden, sodass:

$\begin{eqnarray*} a_{1} ||c_{1} und<br /> a_{2} ||c_{2} \end{eqnarray*}$

das heißt doch, dass $\begin{eqnarray*} a_{1} \cdot a_{2} \equiv 0 \end{eqnarray*}$ oder ?
wie ghet man hier vor ?

20.04.2011, 11:58

Camery

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Zitat:

Original von Mazze
Nein, (i) bildet keine ONB, weil die Vektoren nicht die Norm 1 haben. Sie sind zwar paarweise orthogonal, aber da reicht nicht.

bist du dir eigentlich sicher ?
ich bekomme bei allen 3 die Länge 1

20.04.2011, 12:00

Mazze

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Der Vektor (2,1,-5) hat die Länge $\begin{eqnarray*} \sqrt{30} > 1 \end{eqnarray*}$ .

Was meinst Du eigentlich mit $\begin{eqnarray*} c_1 || a_1 \end{eqnarray*}$ ?

20.04.2011, 12:58

Camery

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ich glaube ich habe die Bedeutung vom Orthonormal immernoch nicht verstanden :-/
ich dachte um festzustellen, ob die gegebene Vektoren othonormal sind muss man zu einem überprüfen, ob die orthogonal zueinander stehen ( skalarprodukt verschwindet) und zu anderem müssen die Norme die Länge 1 besitzen

was mache ich hier falsch ?

wenn ich ein Vektor $\begin{eqnarray*} v=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ habe, zunächst normiere ich diesen Vektor ( durc Betrag teilen) :

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -5 \end{pmatrix} }{\sqrt{30} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{30} } \\ \frac1{\sqrt{30}} \\ \frac{-5}{\sqrt{30}} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

nun, wenn ich die Länge haben möchte, sollte ich einfach d Betrag dieses Vektors berechnen :

$\begin{eqnarray*} |v| = \sqrt{\frac{4}{30} + \frac{1}{30} + \frac{25}{30} } = \sqrt{\frac{30}{30} } = 1 \end{eqnarray*}$

traurig

traurig

20.04.2011, 13:00

Camery

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Zitat:

Original von Mazze

Was meinst Du eigentlich mit $\begin{eqnarray*} c_1 || a_1 \end{eqnarray*}$ ?

parallel gehe ich von aus smile

smile

20.04.2011, 13:01

Mazze

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Wenn Du den Vektor normierst hat er natürlich die Länge 1. Das ist der Sinn vom Normieren. Wenn ich die 3 Vektoren aus (i) betrachte, so sind die Vektoren alle paarweise orthogonal, aber keiner der Vektoren hat die Norm 1. Damit ich also eine ONB erhalte, muss ich alle 3 Vektoren normieren (was Du ja mit einem machst).

Sprich : Antwort Aufgabe 1 : Keine ONB

Aufgabe 2: Damit es eine ONB wird, Vektoren normieren !

20.04.2011, 13:18

Camery

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ok jetzt richtig verstanden, danke !

20.04.2011, 13:30

Mazze

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Zitat:

das heißt doch, dass $\begin{eqnarray*} a_{1} \cdot a_{2} \equiv 0 \end{eqnarray*}$ oder ?

Ganz genau!

20.04.2011, 13:45

Camery

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super ich danke dir für deine Mühe und Geduld Gott

Gott

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