Zeltplane auf 4 Pfosten

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Achim Menzel Auf diesen Beitrag antworten »
Zeltplane auf 4 Pfosten
Meine Frage:
Gegeben sind 4 Punkte: P1(3, 5, 0); P2(-5,3,0); P3(-3,-5,0); P4(5,-3-0). Diese 4 Punkte bilden die Fußpunkte von 4 lotrecht stehenden Pfosten. Jeder Pfosten hat die Höhe von 5 LE.
An den Pfostenspitzen ist eine Plane befestigt. Auf diese Plane wird eine Stange gelegt, damit eine V-förmige Dachform entsteht. Die Stangenenden werden durch am Boden befestigte Seile nach unten gezogen, so dass sich für die Stangenenden die Punkte Z1(-1,4,4) und Z2(1,-4-3) ergeben.

a) Es ist zu zeigen, dass die Fußpunkte der Stangen ein Quadrat bilden.
b) Wie lang ist die Stange, und welchen Winkel bildet die Stange mit der x1/x2-Ebene?
c) Die Plane soll nun durch Glasplatten ersetzt werden. Die V-förmige Dachform soll erhalten bleiben. Warum ist das mit den bisher verwendeten 6 Befestigungspunkten nicht möglich?
d) Damit c) erfüllt werden kann, müssen die Pfosten erhöht werden. Um welchen Betrag?
e) Welchen Winkel bilden die neuerlichen Dachteile miteinander?

Meine Ideen:
zu a) Es geht um die Fußpunkte der Stangen. Da hab ich aber nur 2, und aus 2 Punkten ein Quadrat berechnen wird schwer. Ich vermute also, dass die Fußpunkte der Pfosten gemeint sind:
Dafür hab ich die Seitenlängen P1-P2, P2-P3, P3-P4, P4-P1 berechnet. Ergebnis war eine Länge von je , also rund 8,246 LE. Außerdem hab ich die Diagonalen, P2-P4 und P1-P3, berechnet. Ergebnis: jeweils bzw. rund 11,662 LE.
Damit sollte gezeigt sein, dass es sich um ein Quadrat handelt.

zu b) Die Länge der Stange ergibt sich über Z1 und Z2, also , rund 8,307 LE.
Außerdem hab ich mit Z1 und Z2 eine Geradengleichung aufgestellt, sowie aus P1 bis P4 eine Ebenengleichung. Mit der Geradengleichung und dem Normalvektor der Ebenengleichung kam ich auf einen Winkel von ca. 6,91°.

zu c), d), e) Ich habe nicht den blassesten Schimmer, was da von mir gewollt wird ?????
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeltplane auf 4 Pfosten
Wenn Du für die Stangenlänge bekommst, müßte Z2 lauten: (1 -4 3)

Zu c): Eine Glasplatte ist ja eben, daher müßten die vier Punkte, auf denen jeweils eine Platte ruht, in einer Ebene liegen. Ist diese Bedingung erfüllt?
Wenn ich schon so frage, ist die Antwort leicht. Augenzwinkern

Der errechnete Winkel stimmt.
Achim Menzel Auf diesen Beitrag antworten »

Z2 hat (1,-4,3)...stimmt, mein Fehler.

Danke für die Hilfe! Ich werds mal versuchen smile
Achim Menzel Auf diesen Beitrag antworten »

Super Big Laugh

wenn ich eine Ebene aus P2, P3 und Z1 bilde und Z2 einsetze, erhalte ich 51 = 68.
Bilde ich eine Ebene aus P1, P4 und Z2 und setze Z1 ein, erhalte ich 68 = 51.

Das sind jeweils Widersprüche, so dass es sich zwangsläufig nicht um Ebenen handeln kann.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.
Damit bist Du bei d)

Bei solchen Aufgaben ist eine Skizze empfehlenswert.
Achim Menzel Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Entwurf für d), der mir allerdings allzu profan vorkommt...

Da die Plane an den Pfostenköpfen befestigt werden und ein Pfosten 5 LE hoch sein soll, erhöhe ich für die Punkte P die z-Komponente um 5. Das ergibt für diesen Fall P3(-3/-5/5) und P2(-5/3/5).

Ich bilde aus Z1, Z2 und P3 eine Ebene mit
E: x = (Z1) + r(Z2-Z1) + t(P3-Z1)
das ergibt


Zur Koordinatenform umgeformt: x - 2z = -9

Setze ich hier den Punkt P2(-5/3/5) ein, habe ich dann
>> -5 + 0*3 -2*(5) = -15.
Die (5) stellt dabei die z-Komponente dar. Um auf -9 = -9 zu kommen, müsste ich den Pfosten um 3 LE kürzen, sodass beim Einsetzen -5 -2*2 = -9 rauskommt.
 
 
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Überlegung ist richtig, aber bei der Umrechnung in die Koordinatenform muss Dir irgendwo ein Fehler unterlaufen sein, ich bekomme: x + 2z = 7
Daher stimmt auch die Korrektur der oberen Pfostenpunkte nicht.

Am besten setzt Du Punkt P2 mit (-5 3 z) in die Parametergleichung ein, damit erhältst Du den Sollwert für z, so dass P2 in der Ebene liegt.

Und dann den entsprechenden Vorgang auf die andere Dachhälfte anwenden.

Tipp: Die zwei Pfosten P1 und P2 müssen erhöht werden; das ergibt sich auch aus logischer Betrachtung.
Achim Menzel Auf diesen Beitrag antworten »

Fehler gefunden: hatte im Vektorprodukt für z die Reihenfolge vertauscht. x + 2z = 7 ist richtig smile

Deine Idee mit P2 = (-5/3/z) setzen war klasse; das macht vieles viel einfacher. Wenn ich nun P2 in die Koordinatengleichung einsetze, komme ich auch z = 6. Ursprünglich war z aufgrund der angegebenen Pfostenhöhe = 5. Also muss das Ding um 1 LE erhöht werden. (Ich denke, meine prognostizierte Verringerung lag an er falschen Geichung.)

Für die andere Seite bilde ich aus Z1, Z2 und P4 eine Ebene, wobei P4 als z-Komponente wiederum 5 ist. Als Ebene-Koordinatengleichung erhalte ich -15x - 8y + 34z = 119. P1(3/5/z) wird eingesetzt. Ich kriege wieder z = 6, was heißt, dass der Pfosten um 1 LE erhöht werden muss.

Dann werde ich mich alsbald wohl an e) machen... Hammer
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Erhöhung um 1LE ist richtig. Freude
Achim Menzel Auf diesen Beitrag antworten »

Nun noch zu e)

Der Winkel zwischen den Ebenen entspricht dem Winkel zwischen den Normalvektoren der Ebenen.
Das sind für Ebene A (Koord.gl.: x + 2z = 7)

und für Ebene B (Koord.gl.: -15x - 8y + 34z = 119)


Ich rechne nun

Zahlen eingesetzt:


Der Winkel beträgt also rund 51,43°.
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Vorgangsweise und Ergebnis stimmen. Freude
Achim Menzel Auf diesen Beitrag antworten »

Saustark Big Laugh

Gualtiero, hab vielen Dank! Du warst echt eine Riesenhilfe smile
Gualtiero Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Ursache, gern geschehen.
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