Faktorisierung von Polynomen [ÜAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Faktorisierung von Polynomen [ÜAB]
Zitat:
Schreibe als Produkt von irreduziblen Polynomen mit Leitkoeffizient 1 in



In ergibt sich zunächst nach "abspalten" der Linearfaktoren



Wie macht man dann weiter? Das Polynom könnte man versuchen in zu faktorisieren. Testet man dann einfach und geht über Koeffizientenvergleich?



Nun wieder Koeffizientenvergleich. Da komme ich auf Widersprüche. Wenn das stimmt, dann haben wir schon die Faktorisierung über und damit auch über .

Kann maple so was? (Oder Gap?)
-------------------------------------------

Worauf muss ich bei den endlichen Körpern achten? Wir hatten hier schon mal was angeschnitten. Darf ich über umschreiben? Also



Nun sind hier die Potenzen ja wieder gerade. Also nicht irreduzibel. Mit dem dortigen Trick:



Nun kann man da Nullstellen abspalten



Im Grunde sind wir so weit wie bei . Es gibt keine Nullstellen mehr, mach man hier auch Koeffizientenvergleich zur Beurtielung, ob noch mehr geht?
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorisierung von Polynomen [ÜAB]
Zitat:
Original von tigerbine
Kann maple so was? (Oder Gap?)

Bin mir ziemlich sicher, dass die Antwort ja ist, kann das auf diesem Rechner grad nicht überprüfen...

Hast schon ?factor in Maple probiert?

Zitat:
Original von tigerbine
Nun kann man da Nullstellen abspalten



Im Grunde sind wir so weit wie bei . Es gibt keine Nullstellen mehr, mach man hier auch Koeffizientenvergleich zur Beurtielung, ob noch mehr geht?

Du denkst wieder einmal zu kompliziert... Augenzwinkern Wäre das Polynom vom Grad 4 in der Zerlegung über reduzibel, so müsste es entweder Nullstellen in haben oder in der Form



darstellbar sein (du weißt doch hoffentlich schon, dass das einzige irreduzible Polynom vom Grad 2 über ist?)...

Eidt: Wenn du mal mit "schwierigeren" Beispielen daherkommst, dann kann ich dir ja mal zeigen, mit welchen Methoden man Polynome über allgemein faktorisiert... Hier lohnt sich das definitiv noch nicht... Augenzwinkern
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorisierung von Polynomen [ÜAB]
Ich guck mittlerweile immer zuerst bei Wolfram|Alpha, wenn ich irgendwas rechnen möchte.
Der interpretiert auch falsche Syntax meist richtig, d.h. man muss zuvor keine Hilfedateien wälzen und schließlich liefert die Seite, wie hier, auch gerne mal einfach alles was man gerade braucht.
Augenzwinkern

Bei diesem speziellen Fall hier () kann man die Faktorisierung auch über die Kreiteilungspolynome bestimmen. Hier sind die Faktoren gerade und (also gerade die Kreisteilungspolynome zu den Teilern von 10) und somit haben die irreduziblen Faktoren Grad .

Gruß,
Reksilat.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorisierung von Polynomen [ÜAB]
Ja richtig, für Polynome der Form liefert die Zerlegung in Kreisteilungspolynome über schon mal die Zerlegung in irreduzible Faktoren und ist für die anderen hier genannten Körper der richtige Ausgangspunkt für weitere Zerlegungen... Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorisierung von Polynomen [ÜAB]
Zitat:
darstellbar sein (du weißt doch hoffentlich schon, dass das einzige irreduzible Polynom vom Grad 2 über ist?)...


Nein, wußte ich noch nicht. Für die Koeffizienten gibt es ja nur 0 und 1 als Möglichkeit. Dann ist aber x²+x=x(x+1), x²+1=(x+1)² und x^²=x*x. [Von rechts nach links beim = gelesen, sind dass gerade die Möglichen Kombinationen von Linearfaktoren]

Zitat:
Wäre das Polynom vom Grad 4 in der Zerlegung über reduzibel, so müsste es entweder Nullstellen in haben oder in der Form


Keine Nullstellen und erfüllt die andere Bedingung auch nicht, also irreduzibel.

Zitat:
Ja richtig, für Polynome der Form liefert die Zerlegung in Kreisteilungspolynome über schon mal die Zerlegung in irreduzible Faktoren und ist für die anderen hier genannten Körper der richtige Ausgangspunkt für weitere Zerlegungen...


Also über C zerfällt das in Linearfaktoren, Nullstellen sind die 10-ten Einheitwurzeln. Davon gibt es primitive, das zug. Kreisteilungspolynom hat also den Grad 4 und es gilt



Wir sind wieder am Anfang, aber Kreisteilungspolynome sind über und irreduzibel. Da wären wir also fertig.

Es bleibt der Fall . Aber ich warte nun erst mal das Feedback ab.

edit:
Hast schon ?factor in Maple probiert?

Ja. Nur gelingt es mir nicht, den Körper festzulegen, über dem ich faktorisieren will. real und complex ging.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorisierung von Polynomen [ÜAB]
Ja, passt so... Freude

Es bleibt somit nur noch eine ev. weitere Zerlegbarkeit der Kreisteilungspolynome über zu überprüfen...
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorisierung von Polynomen [ÜAB]
Frage:
Es wir doch oft so ein Trick gemacht wenn nur 1 als Koeffizient auftaucht. man setzt (x+1) ein und prüft dieses Polynom auf Reduzierbarkeit [Ringautomorphismus] Kann ich das hier machen? Oder geht das nur bei unendlichen Körpern? Ich vermute mal, dass man es nicht darf. geschockt

Ansonsten würde ich allgemein ansetzen [Kenne keine irreduziblen quadr. Polynome in Z5]

code:
1:
(x^2+a*x+b)*(x^2+c*x+d)=x^4+(a+c)*x^3+(b+a*c+d)*x^2+(b*c+a*d)*x+b*d


Das kann ich erst heute abend machen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorisierung von Polynomen [ÜAB]
Zitat:
Original von tigerbine
Frage:
Es wir doch oft so ein Trick gemacht wenn nur 1 als Koeffizient auftaucht. man setzt (x+1) ein und prüft dieses Polynom auf Reduzierbarkeit [Ringautomorphismus] Kann ich das hier machen? Oder geht das nur bei unendlichen Körpern? Ich vermute mal, dass man es nicht darf. geschockt

Ja, ich vermute, du denkst an Polynome über der Form



wo man mit diesem "Trick" dann auf eine Gestalt kommt, was das Eisensteinkriterium für Irreduzibilität dann anwendbar ist... Geht wie gesagt nur für und da wissen wir eh schon, dass die Kreisteilungspolynome irreduzibel sind...

Zitat:
Original von tigerbine
Ansonsten würde ich allgemein ansetzen [Kenne keine irreduziblen quadr. Polynome in Z5]

code:
1:
(x^2+a*x+b)*(x^2+c*x+d)=x^4+(a+c)*x^3+(b+a*c+d)*x^2+(b*c+a*d)*x+b*d


Das kann ich erst heute abend machen.

Du denkst da leider in eine ganz falsche Richtung... unglücklich

Als erstes solltest überprüfen, ob es im Grundkörper Nullstellen gibt... Wenn ja, den entsprechenden Linearfaktor rausdividieren... Diesen Vorgang solange wiederholen, bis keine Nullstellen im Grundkörper mehr vorhanden sind... Hat das verbleibende Polynom dann nur mehr einen Grad höchstens 3, bist du fertig, denn es ist dann entweder konstant oder ireduzibel... Trifft das nicht zu, erst dann musst du zu "stärkeren Tobak" greifen... Big Laugh

Und ganz allgemein, auch wenn ich dafür vielleicht von manchen gerügt werde: Koeffizientenvergleich, was dir hier offenbar vorschwebt ist i.d.R. reines Gift und nichts als Gift... geschockt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Als erstes solltest überprüfen, ob es im Grundkörper Nullstellen gibt.


Das Thema kommt im Kapitel Ringe... Google hat nun nicht gleich das passende ausgespukt. Was versteht man denn unter Grundkörper... verwirrt Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Was versteht man denn unter Grundkörper... verwirrt Augenzwinkern

Ich meinte, die hier betrachteten Körper, also bzw. ... Sorry, dachte, das wäre "selbsterklärend"...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

@ Trick: genau das meinte ich. Ok, nur Q. Merke ich mir... immer diese guten Vorsätze

Zitat:
Als erstes solltest überprüfen, ob es im Grundkörper Nullstellen gibt.


OK, das heißt also, ich soll wieder bei anfangen. Ich könnte mir, da ja nur 5 Elemente im Körper sind, von allen die zehnte Potenz aufschreiben. Ich brauche als Ergebnis 1 (mod 5). Als Lösungen bekomme ich 1 und 4.(=-1)

Zitat:
Wenn ja, den entsprechenden Linearfaktor rausdividieren... Diesen Vorgang solange wiederholen, bis keine Nullstellen im Grundkörper mehr vorhanden sind


code:
1:
(x^10 - 1) : (x - 1)  =  x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1  


Wie ist das eigentlich. Darf ich mit (x-1) die PD rechnen und am Ende modulo 5 umrechnen... verwirrt Also wenn ich ein Tool nutzen möchte, was normalerweise über IR arbeitet Engel Und sollte ich dann im nächsten Schritt mit der -1 anstatt der 4 arbeiten?

code:
1:
(x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) : ( x + 1 ) = x^8 + x^6 + x^4 + x^2 + 1


Zitat:
Hat das verbleibende Polynom dann nur mehr einen Grad höchstens 3, bist du fertig, denn es ist dann entweder konstant oder ireduzibel... Trifft das nicht zu, erst dann musst du zu "stärkeren Tobak" greifen...


So, entweder habe ich was falsch gemacht, oder ich brauche "Tobak"... Augenzwinkern
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Was du genau falsch gemacht hast ist folgendes: Du solltest von vornherein von der Zerlegung von in seine Kreisteilungspolynome ausgehen, die gilt ja für alle Körper... Speziell für bist du damit auch bereits fertig, da die Kreisteilungspolynome irreduzibel über sind... Für die anderen Körper musst noch weitermachen... Dabei hat sich für keine weitere Möglichkeit einer Zerlegung ergeben...

Es bleibt also nur noch zu untersuchen, ob die Kreisteilungpolynome über zerlegbar sind oder nicht... Ich dachte eigentlich, so weit wären wir schon gewesen...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann haben wir uns da mißverstanden, denn das wollte ich ja mit dem Koeffizientenvergleich machen. verwirrt



Nun testen, ob es sich um mehrfache Nullstellen hier handelt?

hat auch die Nullstelle x=1.

code:
1:
(x^4  +  x^3  +  x^2  +  x  + 1) : (x - 1)  =  x^3 + 2x^2 + 3x + 4   Rest  5  



Probiere es nochmal mit x=1.

code:
1:
(x^3  + 2x^2  + 3x  +  4) : (x - 1)  =  x^2 + 3x + 6   Rest  10  



Probiere es nochmal mit x=1

code:
1:
(x^2  + 3x  +  6) : (x - 1)  =  x + 4   Rest  10



Dann wäre ich nun bei


Meinstest du das so? Dann müßte ich mich noch dem anderen Polynom von Grad 4 annehmen.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, im Prinzip meinte ich es so... Freude

Aber erstens solltest du nach Möglichkiet konsequent im Bereich 0,1,2,3,4 bei der Rechnung mod 5 bleiben (was aber hier noch kein Beinbruch ist!), und zweitens kann man auch ohne Dividieren sehr leicht sehen, dass 1 eine vierfache Nullstelle ist, denn 1 ist Nullstelle von f(x),f'(x),f''(x),f'''(x), wenn f(x) das Ausgangspolynom vom Grad 4 ist... Also muss es sich von vornherein um das Polynom handeln...

Edit: Obwohl der von mir vorgeschlagene Weg - nämlch einfach die Kreisteilungspolynome weiter zu zerlegen, wenn möglich - normalerweise der optimale ist, gibt es hier zufälligerweise (oder auch nicht?) einen shortcut... Man kann ausgehend von



die Zerlegung über auch sofort hinschreiben... Augenzwinkern
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

In IR kenne ich das mit den mehrfachen Nullstellen. Das geht hier auch so? geschockt

Mystic Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
In IR kenne ich das mit den mehrfachen Nullstellen. Das geht hier auch so? geschockt


Passt... Freude

Und ja, Ableitungen und Vielfachheiten von Nullstellen hängen in beliebigen Körpern so zusammen... Wink
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mystic
Und ja, Ableitungen und Vielfachheiten von Nullstellen hängen in beliebigen Körpern so zusammen... Wink


Das ist ja mal gut zu wissen. Freude Wink
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