Teiler bestimmen Ring

18.04.2011, 10:40

Pustefix91

Teiler bestimmen Ring

Hallo Leute,

bräuchte eure Hilfe, bei der folgenden Aufgabe: Gegeben Sei der Ring $\begin{eqnarray*} R = \mathbb Z[\sqrt{5}*i] = \left\{ a+b\sqrt{5}*i \right\} \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie alle Teiler von $\begin{eqnarray*} 2, 1+\sqrt{5}*i, 2*(1+\sqrt{5}*i), 6 \end{eqnarray*}$ in R.

Nun leider habe ich keine wirkliche Idee, wie ich diese Aufgabe geschickt lösen kann. Habe durch probieren folgendes raus:

(i)Teiler von 2: 1, -1, -2, 2
(ii)Teiler von $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{5}*i \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{5}*i, 1 \end{eqnarray*}$
Teiler von $\begin{eqnarray*} 2*(1+\sqrt{5}*i) \end{eqnarray*}$ : 2 und alle Teiler von (i), (ii).
Teiler von 6: $\begin{eqnarray*} 3,2,6,1,6, 1+\sqrt{5}*i, 1-\sqrt{5}*i \end{eqnarray*}$ .

Nun wie kann ich sicher sein, dass ich alle gefunden habe? Wie mache ich das geschickter... Kann mir nicht vorstellen das man dies durch bloßes raten machen soll.

Schönen Gruß Pustefix91

18.04.2011, 19:02

Pustefix91

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Hat niemand eine Idee geschockt

19.04.2011, 02:35

juffo-wup

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Hilfreich für die Aufgabe ist die Verwendung des Quadrates des komplexen Betrags : $\begin{eqnarray*} \left| a+i\sqrt{5}b\right|^2 =a^2+5b^2 \end{eqnarray*}$ und dieser ist ja bekanntlich multiplikativ, also $\begin{eqnarray*} |xy|=|x|\cdot |y| \end{eqnarray*}$ und das Quadrat ergibt für Ringelemente immer eine nichtnegative ganze Zahl.
Wenn x den Teiler y hat, dann gilt eine Gleichung $\begin{eqnarray*} x=yz \end{eqnarray*}$ und daher auch $\begin{eqnarray*} |x|=|y|\cdot |z| \end{eqnarray*}$
So kann man schon viele Möglichkeiten für Teiler von x von vorn herein ausschließen.

Beachte auch, dass für einen Teiler y von x auch $\begin{eqnarray*} e\cdot y \end{eqnarray*}$ ein Teiler ist, wenn e eine Einheit im Ring ist. Daher wäre es sinnvoll, sich erst einmal eine Übersicht über die Einheiten zu machen. (welchen Betrag können diese haben?)

20.04.2011, 12:43

Pustefix91

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Ok, danke für den Tipp. Also versuche ich es Mal mit $\begin{eqnarray*} 1+\sqrt{5}*i \end{eqnarray*}$ .Es gilt:
$\begin{eqnarray*} | 1+\sqrt{5} |^{2} = 6 = |x|^{2}*|y|^{2} \end{eqnarray*}$ Nun habe ich die Zahl 6 faktorisiert: 2*3, 3*2, 1*6, 6*1. Nun lassen sie 2 und 3 nicht als $\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}*5 \end{eqnarray*}$ darstellen. Übrig bleibt also nur die 1 und 6. Für $\begin{eqnarray*} |x|^{2} = 1 \end{eqnarray*}$ gibt es nur die Lösung x = +1 oder x = -1 und bei $\begin{eqnarray*} |y|^{2} = 6 \end{eqnarray*}$ gibt es hier nur $\begin{eqnarray*} y = -1-\sqrt{5}*i \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y = 1+ \sqrt5*i \end{eqnarray*}$ . Und das wars auch schon, oder? Mir fällt gerade selbst auf $\begin{eqnarray*} R = \mathbb Z[\sqrt{5}*i] = \left\{ a+b\sqrt{5}*i | a,b \in \mathbb Z \right\} \end{eqnarray*}$ . Habe da vergessen anzugeben, dass a und b ganze Zahlen sein sollen. Demnach müssten die Teiler folgende sein: $\begin{eqnarray*} -1-\sqrt{5}*i, -1, 1, 1+\sqrt{5}*i \end{eqnarray*}$ . Stimmt das so? Habe ich was falsch gemacht? Habe ich Teiler übersehen?

Schönen gruß Pustefix91

20.04.2011, 16:29

juffo-wup

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Zitat:

Original von Pustefix91
$\begin{eqnarray*} | 1+\sqrt{5} |^{2} = 6 = |x|^{2}*|y|^{2} \end{eqnarray*}$ Nun lassen sie 2 und 3 nicht als $\begin{eqnarray*} a^{2}+b^{2}*5 \end{eqnarray*}$ darstellen. Übrig bleibt also nur die 1 und 6. Für $\begin{eqnarray*} |x|^{2} = 1 \end{eqnarray*}$ gibt es nur die Lösung x = +1 oder x = -1 und bei $\begin{eqnarray*} |y|^{2} = 6 \end{eqnarray*}$ gibt es hier nur $\begin{eqnarray*} y = -1-\sqrt{5}*i \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y = 1+ \sqrt5*i \end{eqnarray*}$ .

Richtig. Damit hast du jetzt bewiesen, dass $\begin{eqnarray*} 1+i\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist. Der Beweis, dass die Teiler von 6 und den anderen Zahlen in der Aufgabenstellung nur die sind, die du schon angegeben hast, geht dann genauso.
(es ist schon nötig noch auszuschließen, dass es weitere Teiler von 6,2,3 gibt)

24.04.2011, 15:17

Pustefix91

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Ok. Gut. Damit dürfte alles klar sein. Danke dir smile

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